Indukcja matematyczna

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jedrzej49
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 130
Rejestracja: 03 kwie 2009, 15:12
Podziękowania: 98 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Indukcja matematyczna

Post autor: jedrzej49 »

Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że dla n > 1 mamy

\(\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i^2}<1\)
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: Indukcja matematyczna

Post autor: Panko »

Wystarczy jeżeli zauważysz ,że

\(\frac{1}{i^2}=\frac{1}{i \cdot i} <\frac{1}{(i-1) \cdot i} = \frac{1}{i-1} -\frac{1}{i}\) , dla \(i \ge 2\)

Co daje \(\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i^2} <1-\frac{1}{n}\)

Dalej już z górki.
ODPOWIEDZ