ZAD: Niech \(\alpha\) będzie elementem grupy \(\left( \Gamma , * \right)\). Niech funkcja \(f _{ \alpha }: \Gamma \to \Gamma\) będzie zadana przez \(f_{ \alpha } \left(\epsilon \right) = \alpha * epsilon\). Dowieść, że \(f _{ \alpha}\) jest bijekcją zbioru \(\Gamma\). Dowieść też, że \(f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }\) oraz \((f_{ \alpha }) ^{-1}= f_{ \alpha ^{-1} }\) dla dowolnych \(\alpha , \beta \in \Gamma\).
Rozwiązanie:
Załóżmy, nie wprost, że \(\exists \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \in \Gamma [\epsilon_{1} \neq \epsilon_{2} \wedge f(\epsilon_{1})=f(\epsilon_{2})]\).
Wtedy: \(\alpha *\epsilon_{1}= \alpha *\epsilon_{2}\) i wykonując prawostronnie działanie oraz opierając się na łączności działania w grupie otrzymuję:
\((\alpha *\epsilon_{1})*\epsilon_{1} ^{-1}=(\alpha *\epsilon_{2})*\epsilon_{1} ^{-1}\), czyli:
lewa strona powyższego wyrażenia to \(\alpha\), zatem prawa ma być też \(\alpha \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon\) (\(\varepsilon\)-element neutralny). Zachodzi wobec tego: \(\epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1} \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1}\) , wykonując prawostronnie działanie otrzymam: \((\epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1})*\epsilon_{1}=(\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1})*\epsilon_{1}\) skąd korzystając z łączności: \(\epsilon_{2}=\epsilon_{1}\)- sprz. z założeniem, czyli funkcja jest różnowartościowa.
Dalej, \(\forall \beta \in \Gamma \exists \epsilon \in \Gamma [ \beta = \alpha *\epsilon=f _{ \alpha}(\epsilon)\) (wystarczy, że biorąc dowolne \(\beta\) przedstawię je w postaci \(\beta = \alpha *\epsilon\) , a to zawsze jest możliwe, bo niech \(\epsilon= \alpha ^{-1}* \beta\), czyli \(\alpha *\epsilon=\alpha *(\alpha ^{-1}* \beta)=(\alpha *\alpha ^{-1})* \beta= \beta\), zatem funkcja jest suriekcją.
Z powyższego funkcja jest bijekcją.
A dalej:
\(f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha }( f_{ \beta })= \alpha * (\beta *\epsilon )\)
oraz \(f_{ \alpha * \beta }=( \alpha * \beta )*\epsilon\), a stąd z łączności wynika: \(f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }\).
Czy to jest dobrze? Jak udowodnić tę ostatnią część?
Z góry dziękuję za pomoc
