liczba sposobów - kule w pudłach

[gollum]

a)
Liczba sposobów jakmi można rozmieścić 7 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach jest równa:

b)
Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 6 ponumerowanych kul w 2 ponumerowanych pudłach tak, ze w kazdym pudełku znajdują się 3 kule, jest równa:

[radagast]

a)
Liczba sposobów jakmi można rozmieścić 7 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach jest równa:

\({7+5-1 \choose 5} = {11 \choose 5}=66\)

Posłużyłam się wzorem na liczbę k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n -elementowego. Ale nie jestem pewna czy to jest ok .

[radagast]

b)
Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 6 ponumerowanych kul w 2 ponumerowanych pudłach tak, ze w kazdym pudełku znajdują się 3 kule, jest równa:

\({6 \choose 3} \cdot 2=40\)
A to jest raczej ok

[Panko]

Może to pierwsze tak ?
Jest to pytanie o liczbę całkowitych nieujemnych \(x_i \ge 0\) , rozwiązań równania : \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7\) .
Pudełka są numerowane czyli rozkłady różniące się kolejnością składników są różne.
................................................................
Korzystam z fakcika :
Liczba rozwiązań całkowitych dodatnich równania \(x_1+x_2+....+x_k=n\) (jak powyżej) jest równa \({n-1\choose k-1}\)
...............................................................
\(n=7 ,k=5\)
Wtedy szukana liczba rozwiązań całkowitych nieujemnych ( dopuszczamy zera czyli puste komórki ) wynosi
\(6\choose 4\) \(+\) \(5\choose 1\)\(\cdot\)\(6\choose 3\) \(+\) \(5\choose 2\)\(\cdot\)\(6\choose 2\) \(+\) \(5\choose 3\)\(\cdot\)\(6\choose 1\) \(+\) \(5\choose 4\)\(\cdot\)\(6\choose 0\) \(=330\)
....................................................................................................................
A swoją drogą to jest wzorek ( ?)( trzeba by go udowodnić ) ,że liczba rozwiązań całkowitych nieujemnych równania \(x_1+x_2+....+x_k=n\) jest równa \({n+k-1\choose k-1}\)
Co daje dla zadania : \(7+5-1\choose 5-1\) \(=\) \(11 \choose 4\) \(=330\)
Dowód ( o ile wzór powyższy jest słuszny ) korzysta np z fakcika .

[ef39]

a może jeżeli chcemy wyprowadzić wzór to przyjmijmy:
ilość elementów w i-tym pojemniku \(x_i=y_i-1\) gdzie \(y_i>0\)
wtedy
\(x_1+x_2+x_3+ \ldots x_k=n\\
y_1-1+y_2-1+y_3-1+ \ldots y_k-1=n\\
y_1+y_2+y_3+ \ldots +y_k=n+1 \cdot k=n+k\)

po lewej stronie r-nia są liczby dodatnie, więc ilość rozwiązań wynosi \({n+k-1 \choose k-1}\)

[gollum]

a)
Liczba sposobów jakmi można rozmieścić 7 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach jest równa:

\({7+5-1 \choose 5} = {11 \choose 5}=66\)

Posłużyłam się wzorem na liczbę k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n -elementowego. Ale nie jestem pewna czy to jest ok .

czyli co z tym? to jest dobrze czy nie?

[gollum]

a)
Liczba sposobów jakmi można rozmieścić 7 identycznych kul w 5 ponumerowanych pudełkach jest równa:

\({7+5-1 \choose 5} = {11 \choose 5}=66\)

Posłużyłam się wzorem na liczbę k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru n -elementowego. Ale nie jestem pewna czy to jest ok .

w sumie wzór na liczbę k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru to wychodzi właśnie 330.

bo:
\(C^k_n = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \frac{11!}{5040! * 4!} =330\)
prawda?

[eresh]

w sumie wzór na liczbę k-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru to wychodzi właśnie 330.

bo:
\(C^k_n = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \frac{11!}{5040! * 4!} =330\)
prawda?

nieprawda
\(n=7\\
k=5\\
C^5_k=\frac{(7+5-1)!}{5!\cdot (7-1)!}=\frac{11!}{5!\cdot 6!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}{120}=462\)

[radagast]

Też mi tak wychodzi teraz ale siedzę już cicho, co ja z rachunków nie za mocna jestem

[gollum]

oo widzisz dzięki