5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 13:05
Podziękowania: 339 razy

5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach

Post autor: gollum »

liczba sposobów jakimi można rozmieścić 5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach, tak aby żadne pudełko nie pozostało puste jest równa?
jak to obliczyć można prosić krok po kroku bym mogła to zrozumieć?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Pierwsza kula ma do wyboru dwa pudełka
druga też dwa
trzecia też dwa
czwarta też dwa
piąta też ma do wyboru dwa pudełka
Razem jest \(2^5-2=30\)
Od wszystkich \(2^5=32\) możliwości rozmieszczania kul odejmuję sytuację
w której wszystkie wpadły do jednego pudełka (pierwszego lub drugiego).
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: 5 ponumerowanych kul w 2 identycznych pudełkach

Post autor: Panko »

Ale w treści jest : dwóch identycznych pudełkach.
Czy nie powinno być \(\\) \(\\) \(2^4 -1=15\) \(?\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Fakt,te pudełka są identyczne :shock:
Dziękuję Ci Panko :D

To mamy możliwe rozmieszczenia:
1)
1 kula w jednym pudełku i 4 kule w drugim
Tu jest 5 możliwości wyboru tej jednej,reszta wpada do drugiego pudełka.
Rozmieszczenie 4 w jednym i 1 w drugim jest tożsame z poprzednią sytuacją,czyli
nie wnoszą nic nowego.
2)
2 kule w jednym i 3 w drugim
Tu jest \({5 \choose 2}= \frac{5!}{2!\cdot 3!}=10\) możliwości wyboru dwóch,reszta
wpada do drugiego pudełka.
Rozmieszczenie 3 w pierwszym i 2 w drugim jest tożsame,bo pudełka są identyczne.

Razem jest \(5+10=15\) sposobów rozmieszczenia .
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Możesz też skorzystać z pierwszej propozycji rozwiązania,ale tam pudełka były rozróżnialne
dlatego wynik był:
\(2^5-2=30\)
Jeśli uznajemy,że pudełka nie są rozróżnialne,to poprzedni wynik trzeba podzielić przez 2.
Mamy poprawny wynik:
\(\frac{2^5-2}{2}=\frac{2^5}{2}-\frac{2}{2}=2^4-1=15\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ