korzystając z pierwszej zasady indukcji matematycznej udowodnij, że
\(\forall \choose n \ge 1\) \(\sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)
Indukcja matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Nie wiem która to jest "pierwsza" ale jeśli ta co myślę , a Ty masz pokazać, że:
\(\displaystyle \forall_n \ge 1 \ \ \ \sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)
to:
\(1^ \circ\) dla \(\displaystyle n=1:\ \ \ \sum_{i=1}^{1} i= \frac{1(1+1)}{2},\ bo\ 1=1\)
\(2^ \circ\) dla \(założenie\ \ indukcyjne: \displaystyle \exists n \in N:\ \sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)
pokażemy , że \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
dowód:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i= \sum_{i=1}^{n} i+n+1 = \frac{n(n+1)}{2}+n+1= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
cbdo
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwa dla każdego \(n \in N\)
\(\displaystyle \forall_n \ge 1 \ \ \ \sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)
to:
\(1^ \circ\) dla \(\displaystyle n=1:\ \ \ \sum_{i=1}^{1} i= \frac{1(1+1)}{2},\ bo\ 1=1\)
\(2^ \circ\) dla \(założenie\ \ indukcyjne: \displaystyle \exists n \in N:\ \sum_{i=1}^{n} i= \frac{n(n+1)}{2}\)
pokażemy , że \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
dowód:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} i= \sum_{i=1}^{n} i+n+1 = \frac{n(n+1)}{2}+n+1= \frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
cbdo
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwa dla każdego \(n \in N\)