Rozwinięcie dwumianowe

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
rufusek94
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 08 paź 2014, 21:59
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Rozwinięcie dwumianowe

Post autor: rufusek94 » 13 cze 2015, 21:11

Oblicz \(\sum_{k=1}^{n} { n\choose k }* 3^{k}\)
Co mam tu zrobić ? Jak mam to rozpisać, policzyć ? Tylko takie dane mam w zadaniu.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18219
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9045 razy

Post autor: Galen » 13 cze 2015, 21:34

\(\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}3^k= {n \choose 1} \cdot 3^1+ {n \choose 2} \cdot 3^2+ {n \choose 3} \cdot 3^3+...+ {n \choose n-1} \cdot 3^{n-1}+ { n\choose n} \cdot 3^n\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

rufusek94
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 08 paź 2014, 21:59
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Post autor: rufusek94 » 13 cze 2015, 21:48

I to jest już całe rozwiązanie ? Nic nie musze dalej liczyc ?
Dzięki za odpowiedz :-)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18219
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9045 razy

Post autor: Galen » 13 cze 2015, 21:51

Jeśli nie ma podanej liczby n,to nie ma co liczyć.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16747
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7071 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 14 cze 2015, 08:08

Chyba, że tak:

\(\displaystyle 4^n= \left(3+1 \right) ^n= \sum_{k=0}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}= { n\choose 0 } \cdot 3^{0} \cdot 1^{n-0}+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}=1+\sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k} \cdot 1^{n-k}\)
No to

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { n\choose k } \cdot 3^{k}=4^n-1\)