Indukcja matematyczna

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
rufusek94
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 08 paź 2014, 21:59
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Indukcja matematyczna

Post autor: rufusek94 » 10 maja 2015, 19:02

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n
\(43 | 6^{n+2}+7^{2n+1} ;\)
1) n=1
\(a1 = 6^{1+2}+7{2*1+1}=6^{3}+7^{3}=216+343=559\)
\(43|a1\)
2) Założenie
\(k \ge 1\)
\(6^{k+2}+7^{2k+1}=43x\)
3) Teza
\(43|6^{k+3}+7^{2k+3}\)
3) Dowód
\(ak+1=6^{(k+1)+2}+7^{2(k+1)+2}=6*6^{k+2}+7^{2}*7^{2k+1}=\)
\(=6*(43x-7^{2k+1})+7^{2}*7^{2k+1}\) = .... // od tego momentu już nie rozumiem
Podstawiam pod \(6^{k+2}+7^{2k+1}\) wyrazenie \(43x\) i dlaczego odejmuje od tego 7^{2k+1}i znowu mnoże przez 7^{2k+1} ??
Proszę o pomoc, z góry dziękuje

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 10 maja 2015, 19:14

\(Z.\\43|6^{k+2}+7^{2k+1}\\6^{k+2}+7^{2k+1}=43p;\ \ p\in N_+\\T.\\43|6^{k+3}+7^{2k+3}\\D.\\6^{k+3}+7^{2k+3}=6\cdot6^{k+2}+7^2\cdot7^{2k+1}=6\cdot7^{k+2}+49\cdot7^{2k+1}=\\=6\cdot6^{k+2}+6\cdot7^{2k+1}+43\cdot7^{2k+1}=6(6^{k+2}+7^{2k+1})+43\cdot7^{2k+1}=\\=43t+43\cdot7^{2k+1}=43(t+7^{2k+1})=43p;\ \ p=t+7^{2k+1}\in N_+\)