Induckja matematyczna

[mickul]

Udowodnij (stosujac jedna z metod indukcji matematycznej),
ze liczba:
1. \(5^n\) − 4n − 1 jest podzielna przez 16 dla n należącego do N;
2. \(8^{n+2}\) + \(9^{2n+1}\) jest podzielna przez 73 dla n należącego do N;
3. \(6^{2n}\) − 1 jest podzielna przez 35 dla n należącego do N.

[radagast]

Udowodnij (stosujac jedna z metod indukcji matematycznej),
ze liczba:

3. \(6^{2n}\) − 1 jest podzielna przez 35 dla n należącego do N.

\(1^o\)
dla \(n=1\)
\(6^{2n} − 1=6^2-1=35\) dzieli się przez 35
\(2^o\)
założenie indukcyjne :
istnieje \(n,k \in N \ takie\ ze\ \ 6^{2n} − 1=35k\)
teza:
istnieje \(l \in N \ takie\ ze\ \ 6^{2(n+1)} − 1=35l\)
dowód:
\(6^{2(n+1)} − 1=36 \cdot 6^{2n} − 1=36 \cdot 6^{2n} − 36+35=36 (6^{2n} − 1)+35=36 \cdot 35k+35=35(36k+1)\)
\(l=36k+1 \in N\)
CBDO