Indukcja matematyczna

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Mii
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 09 kwie 2015, 13:18
Płeć:

Indukcja matematyczna

Post autor: Mii » 12 kwie 2015, 11:00

Okej, więc mam dwa problemy, pewnie banalnie proste, ale nie potrafię z nimi sobie poradzić samodzielnie.

1. \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2\)
W trzecim kroku indukcyjnym zamieniam
\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^2\)
na
\((1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+(k+1))^2\)
I utykam. Wiem, że równość jest prawdziwa, ale nie wiem jak przekształcić prawą stronę na coś, co będzie wyraźnie pokazywało tą równość.
Jakieś sugestie?

2. \(1-2+3-4+...+(-2n)=-n\)
Wszystko fajnie działa, tylko gdy dochodzę do podstawienia, to otrzymuję
\(L: -k+2(k+1)=k+2
P: -(k+1)=-k-1\)


I też nie wiem co robię źle, błędu nie potrafię znaleźć.

Pomocy!

Galen
Guru
Guru
Posty: 18221
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9046 razy

Post autor: Galen » 12 kwie 2015, 12:20

Przedstaw prawą stronę wzorem na sumę ciągu arytmetycznego
\(Zał.\;ind.\;1^3+2^3+...+k^3=(\frac{k(k+1)}{2})^2= \frac{k^2(k+1)^2}{4}\)
\(Teza\;ind.\;1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
Dowód
\((1^3+2^3+....+k^3 )+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=(k+1)^2( \frac{k^2}{4}+(k+1))=(k+1)^2( \frac{k^2+4k+4}{4})=\\ \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.