Teoria liczb

[kartka]

Niech n = \(z_{5}z_{4}z_{3}z_{2}z_{1}z_{0}\)oznacza liczbę sześciocyfrową.

Proszę obliczyć warunek dla cyfr \(z_{0}, z_{1}\),...,\(z_{5}\), który musi być spełniony, by liczba \(z_{5}z_{4}z_{3}z_{2}z_{1}z_{0}\) była podzielna przez 12.

Czy mógłby mi ktoś pomóc z tym zadaniem? Będę wdzięczny.

[patryk00714]

Z tw, ze \(a \equiv b (\text{mod} m) \So f(a) \equiv f(b)(\text{mod}m)\) mamy

\(1000 \equiv 4(\text{mod} 12)\)

Nasza liczbe zapisujemy jako \(N=z_2z_1zo+1000\cdot z_5z_4z_3\) i przyjmujemy \(f(x)=z_2z_1z_0+x \cdot z_5z_4z_3\) czyli \(f(1000)=N\)

Stad \(f(1000) \equiv f(4) (\text{mod} m)\)

Zatem \(N \equiv z_2z_1z_0+4z_5z_4z_3(\text{mod} 12)\)

Czyli liczba szesciocyfrowa jest podzielna przez 12 jezeli suma jej trzech ost cyfr i czterokrornosc 3 pozostalych jest podzielna przez 12.

Np liczba 308040 jest podzielna przez.12 bo \(40+4 \cdot 308=1272=12 \cdot 106\)

[patryk00714]

Analogicznie mamy \(10 \equiv (-2)(\text{mod}12)\) mamy dla \(f(x)=z_0+xz_1+x^2z_2+x^3z_3+x^4z_4+x^5z_5\)

\(N=f(10) \equiv f(-2)(\text{mod} 12)\)

Zatem \(N \equiv z_O-2z_1+4z_2-8z_3+16z_4-32z_5 (\text{mod} 12)\)

[kartka]

Wielkie dzięki