DO SPRAWDZENIE : Udowodnić że 6n+1 nie może być kwadratem.

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

DO SPRAWDZENIE : Udowodnić że 6n+1 nie może być kwadratem.

Post autor: gollum » 29 sty 2015, 14:04

SPRAWDZI MI TO KTOŚ I POPRAWI W RAZIE CZEGO?
6n+1, \(n \in \nn\) nie może być kwadratem liczby naturalnej . Przypuśćmy, że liczba 6n+1, \(n \in \nn\) jest kwadratem liczby naturalnej, czyli \(6n+1=k^2\) gdzie \(k \in N\)
I. rozważmy przypadek gdy k=6m (k jest podzielne przez 6), m należy do N.
\(k^2=12m^2\) i \(k^2\) dzieli się przez, zatem równość\(6m+1 = k^2\) nie zachodzi.
II. rozważmy przypadek gdy k= 6m+1 , m nalezy do N
\(k^2=(6m+1)^2= 6m^2+12m+1= 6(2m^2+2m)+1\)Liczba \(k^2\) w dzieleniu przez 3 daje reszte 1. Liczba 6m+1 w dzieleniu daje reszte 2 zatem\(6m+1=n^2\) nie zachodzi.
Liczba 6m+1 nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2015, 14:50 przez gollum, łącznie zmieniany 2 razy.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 29 sty 2015, 14:28

Nie rozumiem- a dla n=4?
6n+1=25...

gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Post autor: gollum » 29 sty 2015, 14:31

a mogłabyś to poprawić tym sposobem ?

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 29 sty 2015, 14:37

Zapisz treść zadania. Liczba postaci 6n+1 może być kwadratem liczby naturalnej (n. p. dla n=20 jest 6n+1=121)

Na pewno był jakiś dodatkowy warunek dla liczby n.

gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Post autor: gollum » 29 sty 2015, 14:45

\(n \in \nn\) poprawiłam, bo źle pooznaczałam

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 29 sty 2015, 15:06

A ja myślę, że źle przepisałaś liczbę.

Sprawdź - dowolna naturalna liczba n może mieć postać:

n=6k
n=6k-1
n=6k-2
n=6k-3
n=6k-4
n=6k-5

Kwadraty tych liczb:
\((6k)^2=36k\\(6k-1)^2=36k^2-12k+1\\(6k-2)^2=36k^2-24k+4\\(6k-3)^2=36k^2-36k+6+3\\(6k-4)^2=36k^2-48k+12+4\\(6k-5)^2=36k^2-60k+24+1\)

Reszty z dzielenia przez 6 kwadratów dowolnych liczb naturalnych są równe: 0, 1, 3 lub 4.

Kwadratem liczby naturalnej nie może być więc liczba postaci

6n+2 lub 6n+5 (inaczej 6n-4 lub 6n-1)

gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Post autor: gollum » 29 sty 2015, 15:11

dlaczego 6n-1 a nie 6n+1?

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 29 sty 2015, 15:16

Bo jeśli liczba jest postaci 6n+1, to znaczy, że w dzieleniu przez 6 daje resztę równą 1. Czyli istnieje liczba k taka, że kwadrat liczby k ma w dzieleniu przez 6 resztę równą 1. Pokazałam Ci takie liczby.
Istnieje więc taka liczba k, że jej kwadrat jest postaci 6n+1.
Nie istnieje liczba naturalna k, której kwadrat jest postaci 6n-1, bo kwadrat liczby k musiałby w dzieleniu przez 6 dawać resztę równą 5, a to jest niemożliwe, bo reszty w dzieleniu przez 6 dowolnej liczby naturalnej mogą wynosić tylko 0, 1 3 lub 4. To Ci pokazałam. :)