DO SPRAWDZENIA: Udowodnić że pierwiastek z 50...

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

DO SPRAWDZENIA: Udowodnić że pierwiastek z 50...

Post autor: gollum » 29 sty 2015, 13:45

Udowodnij że \(\sqrt{50} nie jest liczbą wymierną\) MÓGŁBY MI TO KTOŚ SPRAWDZIĆ I POPRAWIĆ W RAZIE CZEGO:P
ODP.\(\sqrt{50} = \frac{m}{n} \ \ m,n \in \nn \ \ NWD(m,n)=1\)
Liczby m i n są względnie pierwsze. \(\sqrt{50} = \frac{m}{n} \\ 50= \frac{m^2}{n^2} \\ 50n^2=m^2\)
\(50n^2\)jest liczbą parzystą zatem \(m^2\) mus być parzyste. stąd wynika że m jest parzyste. Ponieważ NWD(m,n)=1 zatem n jest nieparzyste, stąd liczba \(50n^2\) nie dzieli się przez 4. Liczba \(m^2\)dzieli się przez 4 a więc (a nawet przez 8 ) bo m było parzyste. równość \(50n^=m^2\)nie może zachodzić. Liczba \(\sqrt{50}\) nie jest liczbą wymierną.
Ostatnio zmieniony 29 sty 2015, 14:38 przez gollum, łącznie zmieniany 1 raz.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 29 sty 2015, 14:36

Ja bym zapisała tak:
Lewa strona jest liczbą parzystą, więc liczba parzystą musi być liczba \(m^2\).
Stąd wynika, że liczba m jest parzysta, ale kwadrat liczby parzystej dzieli się przez 4.
Stąd liczba \(50n^2\) musi dzielić się przez 4. Ponieważ liczba 50 dzieli się przez 2, ale nie dzieli się przez 4, więc
liczba \(n^2\) musi dzielić się przez 2, czyli n musi być liczbą parzystą.
sprzeczność z założeniem, że (n, m)=1.
Wniosek- nie istnieją takie całkowite i względnie pierwsze liczby m i n (\(n\neq0\)), że \(\sqrt{50}=\frac{m}{n}\).
Czyli- liczba \(\sqrt{50}\) nie jest liczba wymierną