kwadrat liczby naturalnej

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

kwadrat liczby naturalnej

Post autor: gollum » 28 sty 2015, 01:19

a) Udowodnij, że liczba \(4n+3\) nie może być kwadratem liczby naturalnej.
b) Udowodnij, że liczba \(5k+2\) nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3203
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1094 razy
Płeć:

Post autor: panb » 28 sty 2015, 01:47

Pokażę jak rozwiązać a) - drugi podpunkt robi się podobnie.
Każdą liczbę naturalną N można przedstawić na jeden z następujących sposobów:
N=4k lub N=4k+1 lub N=4k+2 lub N=4k+3, gdzie \(k\in \cc\)
Jeśli N=4k, to \(N^2=16k^2=4(4k^2)=4n\),
jeśli N=4k+1, to \(N^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1=4(4k^2+2k)+1=4n+1\),
jeśli N=4k+2, to \(N^2=16k^2+16k+4=4(4k^2+4k+1)=4n\),
jeśli N=4k+3, to \(N^2=16k^2+24k+9=4(4k^2+6k+2)+1=4n+1\).
Zatem kwadrat liczby naturalnej jest albo podzielny przez 4 albo daje przy dzieleniu przez 4 resztę 1.
Jeśli jakaś liczba jest równa \(4n+3\), czyli daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, to nie może być ona kwadratem liczby naturalnej.
c.n.d.