Udowodnić że pierwiastek nie jest liczbą wymierną

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Udowodnić że pierwiastek nie jest liczbą wymierną

Post autor: gollum » 28 sty 2015, 01:18

a) Udowodnij, że liczba \(\sqrt{14}\) nie jest liczbą wymierną.
b) Udowodnij, że liczba \(\sqrt{15}\) nie jest liczbą wymierną.

sebnorth
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 871
Rejestracja: 11 gru 2010, 18:46
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Otrzymane podziękowania: 413 razy
Płeć:

Post autor: sebnorth » 28 sty 2015, 03:01

a)

załóżmy, że \(\sqrt{14} = \frac{m}{n}, m,n \in \zz, (m,n) = 1\)

\(14 = \frac{m^2}{n^2}\)

\(m^2 = 14n^2\)

\(2 \mid m^2\)

\(2 \mid m\)

\(m = 2m_1\)

\(4m_1 ^2 = 14n^2\)

\(2m_1 ^2 = 7n^2\)

\(2 \mid n^2, 2 \mid n\)

\((m,n) \geq 2\), sprzecznosć

sebnorth
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 871
Rejestracja: 11 gru 2010, 18:46
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Otrzymane podziękowania: 413 razy
Płeć:

Post autor: sebnorth » 28 sty 2015, 03:02

b)

załóżmy, że \(\sqrt{15} = \frac{m}{n}, m,n \in \zz, (m,n) = 1\)

\(15 = \frac{m^2}{n^2}\)

\(m^2 = 15n^2\)

\(3 \mid m^2\)

\(3 \mid m\)

\(m = 3m_1\)

\(9m_1 ^2 = 15n^2\)

\(3m_1 ^2 = 5n^2\)

\(3 \mid n^2, 3 \mid n\)

\((m,n) \geq 3\), sprzecznosć

gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Post autor: gollum » 28 sty 2015, 03:07

a tak z komentarzami jeśli można?

sebnorth
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 871
Rejestracja: 11 gru 2010, 18:46
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Otrzymane podziękowania: 413 razy
Płeć:

Post autor: sebnorth » 28 sty 2015, 03:11

napisz którego przejścia nie rozumiesz

gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 14:05
Podziękowania: 339 razy

Re:

Post autor: gollum » 28 sty 2015, 03:26

sebnorth pisze:a)
\(2 \mid m^2\)

\(2 \mid m\)

\(m = 2m_1\)

\(4m_1 ^2 = 14n^2\)

\(2m_1 ^2 = 7n^2\)

\(2 \mid n^2, 2 \mid n\)

\((m,n) \geq 2\), sprzecznosć
odtąd.. nie wiem dlaczego \(2 \mid m^2\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 28 sty 2015, 10:31

\(m^2=14n^2\)

Po prawej stronie masz wielokrotność liczby 14, czyli na pewno liczbę parzystą. Stąd - \(m^2\) też musi być liczba parzystą.
Ale kwadrat liczby jest parzysty tylko wtedy, gdy sama liczba jest liczbą parzystą, Stąd wniosek, że liczba m musi być parzysta.
Ale dalej- kwadrat liczby parzystej dzieli się przez 4.
Stąd- liczba \(14n^2\) dzielić się musi przez 4, więc liczba \(7n^2\) musi dzielić się przez 2. Czyli- liczba \(n^2\) dzieli się przez 2, więc liczba n jest liczbą parzystą.

I masz sprzeczność z założeniem \((m,\ n)=1\) , czyli, że liczby m i n są liczbami względnie pierwszymi (czyli ułamek \(\frac{m}{n}\) jest ułamkiem nieskracalnym.