Kilka dowodów

[mck00]

Wprost:
Jedyną liczbą pierwszą \(p\) taką, że \(2p−3\) jest kwadratem liczby naturalnej, jest \(p= 2\)
Jedyną liczbą pierwszą \(p\) taką, że \(p+1\) jest sześcianem liczby naturalnej, jest \(p= 7\)
Nie wprost:
Liczba \(\sqrt[3]{2}\) jest niewymierna.
Jak robić tego typu zadania?

[sebnorth]

Jedyną liczbą pierwszą \(p\) taką, że \(2p−3\) jest kwadratem liczby naturalnej, jest \(p= 2\)

Załóżmy że liczba pierwsza \(p\) spełnia warunek w zadaniu.

\(2p-3 = k^2, k \in \nn\)

\(2p-3\) jest nieparzysta, zatem \(k^2\) jest nieparzysta, czyli \(k\) musi być nieparzysta

\(k = 2m+1\) dla pewnego \(m \in \nn\)

\(2p-3 = k^2 = 4(m^2 + m) + 1 \\

2p = 4(m^2 + m) + 4 \\

p = 2(m^2 + m) + 2\)

Widać, że \(p\) musi być parzysta. Więc \(p =2\).

Sprawdźmy: \(2\cdot 2 - 3 = 1^2\)

[sebnorth]

Jedyną liczbą pierwszą \(p\) taką, że \(p+1\) jest sześcianem liczby naturalnej, jest \(p= 7\)

\(p+1 = k^3\)

\(p = k^3 - 1 = (k-1)(k^2 + k + 1)\)

stąd \(k-1 = 1, k^2 + k + 1 = p\)

czyli \(k = 2\)

czyli \(p+1 = 8\)

\(p = 7\)

sprawdźmy: \(7 + 1 = 2^3\)

[sebnorth]

gdyby \(\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}, p,q \in \nn\)

to:

możemy przyjąć że \((p,q) = 1\) (ułamek nieskracalny)

\(2 = \frac{p^3}{q^3}\)

\(2q^3 = p^3\)

stąd \(2 \mid p\)

\(p = 2p_1\), dla pewnego \(p_1 \in \nn\)

\(2q^3 = 8p_1^3\)

\(q^3 = 4p_1^3\)

stąd \(2 \mid q\)

\((p,q) \geq 2\), sprzeczność