Wielomian charakterystyczny

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Glor
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 23 sty 2015, 13:34
Podziękowania: 3 razy

Wielomian charakterystyczny

Post autor: Glor »

Witam,
Bardzo proszę o pomoc w znalezieniu rozwiązania dla zadania następującego typu:
Stosując metodę wielomianu charakterystycznego znajdź postać jawną n-tego
wyrazu ciągu rekurencyjnego G (n), gdzie:

G (n) =
0 dla n = 0
1 dla n = 1
G (n − 1) + G (n − 2) + 1 dla n ≥ 2

A szczególnie chodzi mi o tę wytłuszczoną jedynkę, czyli wyraz bez indexu:
G(n) = G(n-1) + G(n-2) + 1
Próbuję przesunąć wielomian o 3 w prawo, chociaż nie wiem czy tak można:
G(n+3) = G(n+2) + G(n) + 1 i wtedy przechodząc do równania charakterystycznego:
x^3 = x^2 + x + 1 . Niestety, wtedy wychodzi problem z pierwiastkami...
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Najpierw rozwiązujesz jednorodne równanie: \(G(n)=G(n-1)+G(n-2) \iff G(n)-G(n-1)-G(n-2)=0\)
Jak to zrobisz, daj znać.
Glor
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 23 sty 2015, 13:34
Podziękowania: 3 razy

Re: Wielomian charakterystyczny

Post autor: Glor »

Dzięki za pomoc!

Rozwiązując jednorodne równanie:
Pierwiastki:
x1= \(\frac{1+ \sqrt{5} }{2}\)
x2 = \(\frac{1- \sqrt{5} }{2}\)

i wtedy \(A = \frac{1}{\sqrt{5}}\) , \(B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)

czyli równanie:
a(n) = \(\frac{1}{\sqrt{5}} * \frac{1+ \sqrt{5} }{2} -\frac{1}{\sqrt{5}} * \frac{1- \sqrt{5} }{2}\)
Glor
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 23 sty 2015, 13:34
Podziękowania: 3 razy

Post autor: Glor »

Naturalnie w równaniu a(n) pierwiastki w nawiasie i podniesione do potęgi ^n
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: Wielomian charakterystyczny

Post autor: Panko »

Ciąg dalszy znajdziesz np. TU --->http://www.matematyka.pl/304902.htm
W punkcie 3.Liniowym równaniem rekurencyjnym niejednorodnym o stałych współczynnikach rzędu k nazywamy równanie postaci:....
Teraz szukasz rozwiązania szczególnego twojego równania niejednorodnego : \(g_n=1 \cdot g_{n-1}+1 \cdot g_{n-2}+1\)
Notacja jak w \(\\) http://www.matematyka.pl/304902.htm
Czyli Twoje \(f(n)=1\) oraz \(\sum_{i=1}^{k=2}a_i=1+1=2 \neq 1\). Czyli rozwiązanie szczególne to \(g_n^{(2)}= \frac{ 1}{1-2}=-1\)
Tam w artykule znajdziesz tę postać : \(g_n^{(2)}=\frac{a}{1 - \sum_{i=1}^{k} a_i}\) , którą uzupełniłem o\(\\) \(\\)\(a=f(n)=1\) , \(a_1=a_2=1\) , \(k=2\)
.............................................................................
Na konie sumujesz dwa rozwiązania : Twoje ogólne rozwiązanie równania jednorodnego i to otrzymane rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego .
Glor
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 23 sty 2015, 13:34
Podziękowania: 3 razy

Re: Wielomian charakterystyczny

Post autor: Glor »

Świetnie, zrozumiałem, dziękuję bardzo!
Szczerze mówiąc, nie spodziewałem się, że będzie tu potrzebne poszukiwanie rozwiązania szczególnego, a więc i metody przewidywań.

czyli rozwiązanie po zsumowaniu równania jednorodnego oraz niejednorodnego:
a(n)= \(\frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1+ \sqrt{5} }{2})^n -\frac{1}{\sqrt{5}} * (\frac{1- \sqrt{5} }{2})^n - 1\)
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Re: Wielomian charakterystyczny

Post autor: Panko »

No nie . Jak sprawdzisz to z twojego wzoru \(a_0=-1\) a ma być \(a_0=0\) ( czyli \(g_0=0\) )
Ponieważ w odsyłaczu podane są wartości początkowe od indeksu \(n=1\) , to przyjmuje ,że \(g_1=1, g_2=g_0+g_1+1=2\) ( wtedy też\(\\)\(g_0=0\))
Wtedy dla równania jednorodnego rozwiązanie ogólne to \(\\)\(g_n^{(1)} = A \cdot( \frac{1+ \sqrt{5} }{2})^n+B \cdot ( \frac{1- \sqrt{5} }{2})^n\).
Teraz dodajemy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego : \(g_n^{(2)} = -1\) i tworzę całe ... .
\(g_n=A \cdot( \frac{1+ \sqrt{5} }{2})^n+B \cdot ( \frac{1- \sqrt{5} }{2})^n -1\)
I dopiero teraz wyznaczam wartości współczynników \(A,B\) , przyjmując \(g_1=1,g_2=2\)
\(\begin{cases} 1= A \cdot( \frac{1+ \sqrt{5} }{2})^1+B \cdot ( \frac{1- \sqrt{5} }{2})^1 -1 \\ 2= A \cdot( \frac{1+ \sqrt{5} }{2})^2+B \cdot ( \frac{1- \sqrt{5} }{2})^2 -1 \end{cases}\)

stąd \(\begin{cases} A =\frac{5+3 \sqrt{5} }{10} \\ B=\frac{5-3 \sqrt{5} }{10} \end{cases}\)

ostatecznie \(g_n= \frac{5+3 \sqrt{5} }{10} \cdot( \frac{1+ \sqrt{5} }{2})^n+ \frac{5-3 \sqrt{5} }{10} \cdot ( \frac{1- \sqrt{5} }{2})^n -1\)
....................................................................................................
sprawdź fizycznie przynajmniej \(g_0,g_1,g_2\) czy się zgadzają .
ODPOWIEDZ