Która para jest grupą?

[mck00]

a.)\(\left( \left\{ 1,8\right\} , \cdot _{9} \right)\)
b.)\(\left( \mathbb{Z}^{+}_{7}, \cdot _{7} \right)\)
c.)\(\left( \left\{ 0,1\right\} ,\cdot \right)\)
Która z tych par jest grupą? Proszę o dokładne wytłumaczenie. Znam ogólne założenia by coś było grupą,ale w tych wypadkach nie wiem jak to sprawdzić,szczególnie z iloczynem kartezjańskim.

[sebnorth]

a) jest grupą

tabelka grupowa: \(1 \cdot_{9} 1 = 1, 1 \cdot_{9} 8 = 8, 8 \cdot_{9} 1 = 8, 8 \cdot_{9} 8 = 1\)

trzeba by sprawdzić aksjomaty grupy albo zbadać że ta struktura jest podgrupą jakiejś większej grupy

ale aksjomaty idą szybko:

1) łączność:

z tabelki wynika że działanie jest przemienne więc wystarczy sprawdzić łączność w czterech przypadkach:

\(1\cdot_{9} 1 \cdot_{9} 1, 1 \cdot_{9} 1 \cdot_{9} 8, 1 \cdot_{9} 8\cdot_{9} 8, 1\cdot_{9} 8\cdot_{9} 8\)

2) elementem neutralnym jest \(1\)

3) elementy odwrotne: \(1^{-1} = 1\), \(8^{-1} = 8\)

[sebnorth]

b) to jest tajemnicze, bo widzę tam działanie dodawania i mnożenia i w sumie nie wiem o co chodzi

[sebnorth]

c)

tabelka działania: \(0 \cdot 0 = 0, 0 \cdot 1 =0 , 1 \cdot 0 = 0, 1 \cdot 1 = 1\)

z tabelki widać, że nie mamy grupy:

\(0 \cdot 0 = 0 \cdot 1\)

w grupie można skracać elementy, i wtedy wyszłoby \(0 = 1\), sprzeczność

[mck00]

Wg moich danych tam jest działanie mnożenia,a ten plus oznacza,że działamy w grupie bez zera,czyli {1,2,3,4,5,6,7}

[sebnorth]

ale to wtedy bez siódemki