Teoria liczb - NWW

[patryk00714]

Wykazać, że dla \(n \in \nn\) zachodzi rownosc: \([na,nb]=n[a,b]\)

Doszedłem do wniosku, że na mocy równości \([na,nb]=\frac{n^2ab}{(na,nb)}\) wystarczy pokazac ze \((na,nb)=n(a,b)\) co dalej z tym zrobic? pozdrawiam!

[Arni123]

Cześć , wystarczy, że sprawdzisz ,że dla \(d=[a,b]\) liczba \(d\cdot n\) spełnia warunki definicji NWW dla \(na\) i \(nb\). Istotnie:
1) \(dn\in\mathbb{N}\);
2) \(d=[a,b] \So \exists _{x,y\in\mathbb{N}}\; d=ax \wedge d=by \So nd=nax \wedge nd=nby\), wynika stąd, że \(na|dn \wedge nb|dn\), tym samym spełniony jest drugi warunek definicji,
3) sprawdźmy teraz trzeci warunek definicji. Niech \(an|m \wedge bn|m\) dla pewnego \(m\in\mathbb{N}\). Wtedy istnieją takie \(k,l\in\mathbb{N}\), że \(m=kna \wedge m=lnb\), zatem \(\frac{m}{n}=ka \wedge \frac{m}{n}=lb\), czyli \(a|\frac{m}{n} \wedge b|\frac{m}{n}\). Stąd na mocy definicji \(d=[a,b]\) zachodzi podzielność \(d|\frac{m}{n}\), czyli istnieje takie \(j\in\mathbb{N}\), że \(\frac{m}{n}=jd\), a stąd \(m=jnd\), czyli \(nd|m\), co oznacza, że jest spełniony trzeci warunek definicji NWW dla liczb \(na\) i \(nb\).

[Panko]

Jeżeli dopuszczasz twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w zbiorze liczb naturalnych to jest łatwo bo wtedy jest
\(a= p_1^{ \alpha _1} \cdot ...... \cdot p_ l^{ \alpha _l}\)
\(b= p_1^{ \beta _1} \cdot ...... \cdot p_ k^{ \beta _k}\)
\(NWW(a,b)= p_1^{max \left\{ \alpha _1, \beta _1\right\} } \cdot ...... \cdot p_ k^{ max \left\{ \alpha _k, \beta _k\right\} }\) ,\(\\) przyjąłem \(k \ge l\).
\(NWD(a,b)= p_1^{min \left\{ \alpha _1, \beta _1\right\} } \cdot ...... \cdot p_ k^{ min\left\{ \alpha _k, \beta _k\right\} }\) ,\(\\) przyjąłem \(k \ge l\).

Właściwie równość którą stosujesz \(a \cdot b= NWW(a,b) \cdot NWD(a,b)\) łatwo przechodzi gdy stosujemy to powyższe twierdzenie.

............................................................