Indukcja, nierówność z sumą - proszę o sprawdzenie.

[ms7]

Witam
Proszę o sprawdzenie poniższego dowodu:

Muszę wykazać przy pomocy indukcji:
\(\forall _{n \ge 2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1\)

Postanowiłem, że wykaże:
\(\forall _{n \ge 2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1-\frac{1}{n}\)

1) Sprawdzamy czy zachodzi dla \(n=2\). Tak, zachodzi.
2) Załóżmy że nierówność zachodzi dla pewnego \(n \ge 2\), pokażemy więc że zachodzi także dla \(n+1\):

\(\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1-\frac{1}{n}\)

\(L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{(1+n)^2}\)

Pokażmy, że: \(-\frac{1}{n+1}>-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}\)

Mnożę nierówność stronami przez \(n(n+1)^2\) założyliśmy że \(n \ge 2\) więc mnożę przez liczbę dodatnią.

\(-n(n+1)>-(n+1)^2+n\)

\(-n^2-n>-n^2-2n-1+n\)

\(0>-1\)
Nierówność została wykazana.

Prawdą zatem jest:
\(L=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<1- \frac{1}{n} + \frac{1}{(1+n)^2}<1-\frac{1}{n+1}\)

a zatem na mocy indukcji matematycznej....

[patryk00714]

a ta nierówność nie jest prawdą, bo jak się dowiesz wkrótce \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi ^2}{6}>1\)

Jokob Bernoulli wykazał, że \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}<2\)

a sumę tego szeregu wyliczył L.Euler. Problem ten był i jest znany jako problem bazylejski.

[patryk00714]

aha indeksujemy od dwójki, więc szafa gra