Jaka liczba daje się przedstawić jako suma szóstek i siódeme

[tukan]

Witam,
Chodzi o liczby naturalne.
Przykłady takich liczb:

19 = 6 + 6 + 7
18 = 6 +6 +6
14 = 7 + 7.
Nasza liczba musi być postaci 6k + 7l, gdzie l i k są całkowite nieujemne.
Ale to za mało, chciałbym coś więcej powiedzieć, ale nie bardzo widzę co.

[Panko]

Trochę odbiegnę od pytania .

1. Jeżeli \((a,b)=1\)\(\\)\(\So\)\(\\)\(\exists\)\(x,y \in C\) \(\\):\(\\)\(ax+by=1\)
Tu oczywiście \((6,7)=1\)
2. Wystarczy w takim razie rozwiązanie równania : \(6x+7y=1\) w liczbach całkowitych \(x,y\) pomnożyć obustronnie przez \(n \in N\) i dostanę \(n \cdot 6x+n \cdot 7y=n\)
3. Każda liczba naturalna jest przedstawialna w postaci \(6n \cdot x +7n \cdot y\) tyle ,że są to liczby całkowite.

[Panko]

W dziedzinie naturalnej to może zapytać o równanie : \(6x+7y=42k+r\) \(\\) , gdzie \(k \in \left\{ 0,1,2,...\right\}\) \(\\) ,\(r \in \left\{ 0,1,2,...,41\right\}\)
Wtedy szukamy takich \(x=\frac{42k+r-7y}{6} =\frac{42k+r-7(42a+r_1)}{6}=7k-49a+\frac{r-7r_1}{6}\) gdzie \(a \in \left\{ 0,1,2,...\right\}\) \(\\) ,\(r_1 \in \left\{ 0,1,2,...,41\right\}\)
Zostaje pracowicie zbadać tę skończoną ilość przypadków par \(r,r_1\)

...............................................................................................
Np dla \(r=1\) jest \(\begin{cases}y=42a+1\\ x=7k-49a-1\end{cases}\)
Przyjmując \(a=0\) jest \(\begin{cases}y=1\\ x=7k-1\end{cases}\)

Jest : \(6 \cdot ( 7k-1)+7 \cdot 1= 42k+1\)
Widać ,że każda liczba naturalna postaci \(42k+1\) dla \(k \ge 1\) ma żądane przedstawienie.

[tukan]

[do usunięcia]

[tukan]

\(6x+7y=42k+r\)

Skąd to równanie ?

[adelajda80]

6x+7y


np 6*2+7*3=12+21= 33 33= 6+6+7+7+7


ODP: wystarczy równanie i podstawiać liczby naturalne 6x+7y


Pozdrawiam serdecznie wszystkich.