Witam,
Udowodnji, że istnieje 2011 kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest podzielna przez sześcian liczby naturalnej > 1.
Nie mam jakiejkolwiek intuicji, żeby się do tego zabrać.
Udowodnić istnienie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Popatrzmy w przypadku : trzech kolejnych liczb
Weźmy ciąg trzech kolejnych liczb pierwszych : \((p_1,p_2,p_3)=( 2,3,5)\)
wtedy szukam takich liczb :\(k_1,k_2 ,k_3\) ,że \(\begin{cases} 3^3k_2-2^3k_1=1 \\ 5^3k_3-3^3k_2=1 \end{cases}\)
Wtedy \((2^3k_1,3^3k_2,5^3k_3)\) to dobra trójka kolejnych liczb naturalnych ( dokładniej całkowitych ?)
Pytanie czy taki układ ma rozwiązanie w liczbach całkowitych ( najlepiej naturalnych)
Odpowiedź daje Chińskie twierdzenie o resztach
Można ten układ zapisać następująco : \(\begin{cases} 8k_1 \equiv =-1\ mod(27) \\ 8k_1 \equiv -2 \ (mod125) \end{cases}\)
Ponieważ \((3^3,5^3)=1\) bo tak dobrane to tw o resztach gwarantuje istnienie \(\infty\) ilości rozwiązań całkowitoliczbowych.
................................................
Taki układ można napisać dla ciągu generowanego przez \((p_1,p_2,....,p_{2011})=(2,3,5,....)\) i przerobić na układ kongruencji czytelny dla zastosowania Cińskiego tw o resztach i z niego wnioskować o istnieniu rozwiązań ( naturalnych ?)
............................................
To tylko SZKIC ( ?)
Weźmy ciąg trzech kolejnych liczb pierwszych : \((p_1,p_2,p_3)=( 2,3,5)\)
wtedy szukam takich liczb :\(k_1,k_2 ,k_3\) ,że \(\begin{cases} 3^3k_2-2^3k_1=1 \\ 5^3k_3-3^3k_2=1 \end{cases}\)
Wtedy \((2^3k_1,3^3k_2,5^3k_3)\) to dobra trójka kolejnych liczb naturalnych ( dokładniej całkowitych ?)
Pytanie czy taki układ ma rozwiązanie w liczbach całkowitych ( najlepiej naturalnych)
Odpowiedź daje Chińskie twierdzenie o resztach
Można ten układ zapisać następująco : \(\begin{cases} 8k_1 \equiv =-1\ mod(27) \\ 8k_1 \equiv -2 \ (mod125) \end{cases}\)
Ponieważ \((3^3,5^3)=1\) bo tak dobrane to tw o resztach gwarantuje istnienie \(\infty\) ilości rozwiązań całkowitoliczbowych.
................................................
Taki układ można napisać dla ciągu generowanego przez \((p_1,p_2,....,p_{2011})=(2,3,5,....)\) i przerobić na układ kongruencji czytelny dla zastosowania Cińskiego tw o resztach i z niego wnioskować o istnieniu rozwiązań ( naturalnych ?)
............................................
To tylko SZKIC ( ?)
-
tukan
- Fachowiec
- Posty: 985
- Rejestracja: 18 paź 2010, 20:45
- Podziękowania: 509 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
- Płeć:
Re:
Tak, to jest oczywiście prawda.Panko pisze: Wtedy \((2^3k_1,3^3k_2,5^3k_3)\) to dobra trójka kolejnych liczb naturalnych ( dokładniej całkowitych ?)
Rozumiem to tak: Tworzysz sobie liczby w ten sposób, żeby mieć pewność, że są podzielne przez sześcian liczby naturalnej.
Co więcej bierzesz sześciany liczb pierwszych, żeby móc użyć twierdzenia chińskiego (o czymkolwiek ono jest - dlatego to moje tylko przypuszczenie).
Układasz (ten 1szy) układ tak, aby dostać liczby, które są kolejne (różnią się o jeden).
Jeśli chodzi zaś o przejście na ten 2gi układ równań to nie bardzo widzę co i skąd.