Czy liczby a i a + 1 są względnie pierwsze

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tukan
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 985
Rejestracja: 18 paź 2010, 20:45
Podziękowania: 509 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Czy liczby a i a + 1 są względnie pierwsze

Post autor: tukan »

Witam,
Nie mam pojęcia czy to prawda.
Przyszło mi to do głowy po prostu i postanowiłem spróbować udowodnić, że tak jest.

No więc trzeba rozważyć czy ich NWD to jeden.

Rozważmy wszystkie dzielniki liczby \(a\). Nie rozważamy tylko jedynki.

Każdy z tych dzielnikow jest większy od jeden.
Tak więc kolejna liczba, która dzieli się przez jakikolwiek z tych dzielników to \(a+d\)
A ponieważ \(d>1[\) to liczby \(a\) i \(a+1\) nie mają w ogóle wspólnych większych od jeden dzielników.
Tak więc ich jedynym wspólnym (a więc i największym ) dzielnikiem jest jedynka. Czyli zawsze liczby a i a+1 są względnie pierwsze.

Czy to jest prawda ? Czy uzasadnienie jest ok ?
Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1556 razy
Płeć:

Post autor: Panko »

Najprościej to pewnie tak :
ogólnie : jeżeli \(d|m\) \(\wedge\)\(d|n\)\(\\)\(to\) \(\\)\(d|\) \(\\)\(|m-n|\)
Stąd jeżeli \(d|a\) \(\wedge\) \(d|a+1\) \(\\)\(to\) \(d |\)\(\\) |a+1-a|
\(\\) stąd \(d|1\) czyli \((a,a+1)=1\)
tukan
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 985
Rejestracja: 18 paź 2010, 20:45
Podziękowania: 509 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: Czy liczby a i a + 1 są względnie pierwsze

Post autor: tukan »

Ok, dzięki.

A mój sposób?
ODPOWIEDZ