równoliczność zbiorów.

[jabi13]

Witam pilnie ale to bardzo potrzebuję pomocy w udowodnieniu ,,mocy" przedziałów czy tam ich równoliczności

[0,2]=(0,2) Nad tymi przedziałami podwójne kreski czyli chyba ich moc.

[octahedron]

Musimy znaleźć funkcję wzajemnie jednoznaczną \(f(x)\) z jednego zbioru w drugi. Liczby wymierne z \([0,1]\) można ułożyć w ciąg:
\(x_1=0\\
x_2=1\\
x_3=\frac{1}{2}\\
x_4=\frac{1}{3}\\
x_5=\frac{2}{3}\\
x_6=\frac{1}{4}\\
x_7=\frac{3}{4}\\
\quad ...\)
Zatem funkcję \(f:\,[0,1]\to(0,1)\) określamy tak:

\(\begin{cases}f(x_n)=x_{n+2},\ x\text{ wymierne}\\f(x)=x,\ x\text{ niewymierne}\end{cases}\)

[jabi13]

Dlaczego akurat taka funkcja nie rozumiem tego zbytnio? dlaczego tam masz raz wymierne raz niewymierne?

[octahedron]

Dlatego, że taką akurat funkcję wymyśliłem . Jest nieskończenie wiele takich funkcji. Co dokładnie jest niejasne?

[jabi13]

Dlaczego akurat taka funkcja ? jak ona działa?

[octahedron]

Funkcja ma być wzajemnie jednoznaczna. Liczby niewymierne w obu przypadkach się pokrywają, więc każdą przyporządkujemy jej samej. W wymiernych mamy dwie dodatkowe, stąd to przesunięcie o dwa.