Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu przykładów:
Podać zwartą postać funkcji tworzącej każdego z następujących ciągów:
1. \(a_n = n^2 , n = 0, 1, 2, . .\)
2. \(a_n = n^k , n = 0, 1, 2, ...\)
Będę niezmiernie wdzięczna za rozwiązania.
Proszę o pomoc! Zwarta postać funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
octahedron
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
\(\displaystyle{
2)\,F_k(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n^kx^n=x\sum\limits_{n=0}^\infty\left(n^{k-1}x^n\right)'=x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty n^{k-1}x^n\right)'=xF\,'_{k-1}(x)=x\left(xF\,'_{k-2}(x)\right)'=\ldots\\
F_0(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\\
F_k(x)=\underbrace{x\left(x\left(\ldots x\left(\frac{1}{1-x}\right)'\right)'\right)'}_{k\text{ razy}}
}\)
2)\,F_k(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n^kx^n=x\sum\limits_{n=0}^\infty\left(n^{k-1}x^n\right)'=x\left(\sum\limits_{n=0}^\infty n^{k-1}x^n\right)'=xF\,'_{k-1}(x)=x\left(xF\,'_{k-2}(x)\right)'=\ldots\\
F_0(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\\
F_k(x)=\underbrace{x\left(x\left(\ldots x\left(\frac{1}{1-x}\right)'\right)'\right)'}_{k\text{ razy}}
}\)