Rozwiąż kongruencje liniową
1)15x≡7(mod 24)
2)15x≡10(mod 25)
Prosiłbym o krok po kroku jak to się robi , z góry dziękuje
kongruencja liniowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
rayman
- Stały bywalec
- Posty: 797
- Rejestracja: 13 gru 2011, 10:29
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 310 razy
liniowa kongruencja \(ax\equiv b \pmod n\) ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy gdy \(d:=(a,n)|b\)
zatem 1) nie ma rozwiazania
w drugim \(d=(15,25)=5|10\) zatem mamy rozwiazanie, oznaczmy je przez \(x_{0}\). Poniewaz, \(d=5\) bedziemy miec w sumie 5 rozwiazan tej kongruencji, beda one postaci \(\{x_{0}+k\frac{n}{d}|k= 0,1,2,3,4\}\)
Standartowo przez rownanie Diofantyczne (w ktorym uzywa sie algorytmu Euklidesa)
zapiszmy kongruencje, jako rownanie \(15x-25y=10\)
uzywajac algorytmu Euklidesa mamy \(5=\underbrace{2}_{x_{0}}(15)-25\) ale my potrzebujemy tego samego dla \(10\) wiec mamy \(10=\underbrace{4}_{x_{0}}(15)-2(25)\)
a z tego widac np ze \(15\cdot 4=60\equiv 10 \pmod {25}\)
wiec wszystkie rozwiazania kongruencji naleza do zbioru \(\{4,9,14,19,24\}\)
zatem 1) nie ma rozwiazania
w drugim \(d=(15,25)=5|10\) zatem mamy rozwiazanie, oznaczmy je przez \(x_{0}\). Poniewaz, \(d=5\) bedziemy miec w sumie 5 rozwiazan tej kongruencji, beda one postaci \(\{x_{0}+k\frac{n}{d}|k= 0,1,2,3,4\}\)
Standartowo przez rownanie Diofantyczne (w ktorym uzywa sie algorytmu Euklidesa)
zapiszmy kongruencje, jako rownanie \(15x-25y=10\)
uzywajac algorytmu Euklidesa mamy \(5=\underbrace{2}_{x_{0}}(15)-25\) ale my potrzebujemy tego samego dla \(10\) wiec mamy \(10=\underbrace{4}_{x_{0}}(15)-2(25)\)
a z tego widac np ze \(15\cdot 4=60\equiv 10 \pmod {25}\)
wiec wszystkie rozwiazania kongruencji naleza do zbioru \(\{4,9,14,19,24\}\)
\(\mathbb{Z_{nm}}\cong\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{n} \Leftrightarrow (m,n)=1\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)
\(L\supseteq K \Rightarrow L \Rightarrow Aut(L)\subseteq Gal(L:K)\)
\(M\otimes_{R}N\to M^{\prime}\otimes_{R}N\to M^{''}\otimes_{R}N\to 0\)