Dwa zadania z kombinatoryki.

[laguna5]

Witam serdecznie.

Bardzo prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań z matematyki dyskretnej - kombinatoryka. Staram się je rozwiązać ale jakoś mi to nie wychodzi. Zadania potrzebuję na jutro. Będę bardzo wdzięczna za wszelką pomoc.

Zadanie 1.

Na ile sposobów osoba przygotowująca spotkanie towarzyskie może wybrać 40 butelek soków, spośród 10 rodzajów soków tak, aby a) nie wybrała wszystkich soków tego samego rodzaju, b)wybrała co najmniej jedną butelkę soku każdego rodzaju? Zakładamy, że butelki z sokiem tego samego rodzaju są nierozróżnialne oraz jest co najmniej 40 butelek soku każdego z rodzajów.

Zadanie 2.

Na ile sposobów można umieścić 9 nierozróżnialnych (zamaskowanych) szpiegów (tajnych współpracowników) w 4 różnych gangach jeśli a) w każdym gangu może być dowolna liczba szpiegów ( włącznie z zerem), b) w każdym gangu musi być co najmniej jeden szpieg?

Jeszce raz bardzo proszę i z góry serdecznie dziękuję za wszelką pomoc.

[samiec_gamma]

Zad 1 a) Policz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (wybierze wszystkie soki tego samego rodzaju) - takich przypadków jest tylko 10.
b) 10 soków różnych rodzajów wybiera na 1 sposób. Teraz 30 soków już może być dowolnego rodzaju czyli \(30^{10}\)

[samiec_gamma]

Co do zad 1. a) to nie doczytałem, że tu nie chodzi o prawdopodobieństwo. Jednak możesz zrobić to analogicznie: od liczby wszystkich możliwych wyborów odjąć te 10 niesprzyjających zdarzeniu z treści zadania

[samiec_gamma]

Zad 2 a) Wyobraź sobie że S to szpieg:
S S S S S S S S S - w sumie jest ich 9,
Teraz wstawiasz 3 kreski, żeby podzielić ich na 4 gangi. Możesz je wstawić między szpiegów ale też na lewo i na prawo od nich (żeby mogło się zdarzyć, że 1. i 4. gang nie ma żadnego członka). Czyli możesz wstawić kreskę na 10 miejsc i w dodatku na jednym miejscu mogą stać również 2 albo 3 kreski. Takich możliwość jest \({ 10\choose 3} \cdot 3!\)

b) tym razem kreski już muszą stać między szpiegami i na każdym miejscu tylko 1, aby każdy gang miał przynajmniej jednego członka. Czyli jest \({ 8\choose 3}\) sposobów

[samiec_gamma]

Zad2 a) Wybacz, że znowu muszę się poprawić. Takich możliwości jest \(10^3\). Każdą kreskę można postawić na jednym z 10 miejsc. \((10 \cdot 10 \cdot 10)\)

[laguna5]

Bardzo dziękuję za pomoc jestem bardzo wdzięczna.

Mam jeszcze taką sugestie do podpunktu 2a. Gang będzie elementem losowania to można określić że jest to kombinacja z powtórzeniami {4+9-1 \choose 9} . Nie wiem jednak w jaki sposób do podpunktu 2b wyznaczyć wszystkie możliwości wystąpienia
jakiegokolwiek pustego gangu.

[kapamawi]

Witam.

Czy ktoś może napisać całkowite rozwiązania do powyższych zadań ?
Pozdrawiam