liczby naturalne

[xxxXMadZiaRaXxxx]

Pokazać, że dla dowolnych naturalnych a i b ma miejsce równość:

(a,b)=(5a+3b, 13a+8b)

[radagast]

To jest oczywista nieprawda:
np
\(a=1\) , \(b=0\)
\((5a+b,13a+8b)=(5,13) \neq (1,0)\)

Pewnie chodzi o coś innego, tylko o co ?

[irena]

Nie wiem, czy dobrze myślę, ale (a, b)=NWD(a, b), przynajmniej w niektórych podręcznikach tak zapisuje się największy wspólny dzielnik...

[ewelawwy]

no i zazwyczaj 0 nie jest liczbą naturalną

[radagast]

A to się nie zgadzam ale wiem, że nie ma na ten temat zgodności więc podam inny przykład:
\(a=1,b=1\)
\((1,1) \neq (8,21)\)
Ale to co Irena napisała (ze (a,b) to NWD(a,b)) to chyba jest to o co chodzilo ... Wygląda na prawdę ale dowód mi jakoś nie wychodzi)

[irena]

Tu można skorzystać z aksjomatu Euklidesa:

Jeśli b=qa+r [ q to liczba całkowita, r to reszta z dzielenia liczby b przez liczbę a] , to (a, b)=(a, r)

\((5a+3b,\ 13a+8b)=*\\ \left(13a+8b=2(5a+3b)+(3a+2b) \right) \\*=(5a+3b,\ 3a+2b)=*\\ \left(5a+3b=(3a+2b)+(2a+b) \right) \\*=(3a+2b,\ 2a+b)=*\\ \left(3a+2b=(2a+b)+(a+b) \right) \\*=(2a+b,\ a+b)=*\\ \left(2a+b=(a+b)+a \right) \\*=(a+b,\ a)=*\\ \left(a+b=(a)+(b) \right) \\*=(a,\ b)\)

Reasumując:
\((5a+3b,\ 13a+8b)=(5a+3b,\ 3a+2b)=(3a+2b,\ 2a+b)=(2a+b,\ a+b)=(a+b,\ a)=(a,\ b)\)