liczby parzyste
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
xxxXMadZiaRaXxxx
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 10 sty 2011, 14:24
- Podziękowania: 2 razy
- Płeć:
liczby parzyste
Pokazać, że każda z liczb 48, 4488, 444888,... jest iloczynem dwóch kolejnych liczb parzystych.
Zauważ, że
\(6\cdot8=48\\66\cdot68=4488\\666\cdot668=444888\)
Zauważ też, że:
\(8\cdot6=48\\68\cdot6=408\\668\cdot6=4008\)
Niech a=66...68 (n szóstek i ósemka)
\(a=60+600+...+60\cdot10^{n-1}+8=60\cdot\frac{1-10^n}{1-10}+8=60\cdot\frac{10^n-1}{9}+8\\6a=\frac{360}{9}(10^n-1)+48=40(10^n-1)+48=40\cdot10^n-40+48=4\cdot10^{n+1}+8\)
\(60a=4\cdot10^{n+2}+8\cdot10\\600a=4\cdot10^{n+3}+8\cdot10^2\\6\cdot10^{n+1}a=4\cdot10^{2n+1}+8\cdot10^n\)
Niech b=666...6 (n+1 szóstek)
\(a\cdot\ b=6a+60a+...+6\cdot10^na=\\=4\cdot10^{2n+1}+8\cdot10^n+4\cdot10^{2n}+8\cdot10^{n-1}+...+4\cdot10^{n+1}+8=\\=4\cdot(10^{2n+1}+10^{2n}+...+10^{n+1})+8\cdot(10^n+10^{n-1}+...+10+1)\)
Można więc stwierdzić, że każda liczba postaci 44...488..8 (po n czwórek i ósemek) to iloczyn liczb: 66..6 (n szóstek) i 66..68 (n-1 szóstek i ósemka), czyli kolejnych liczb parzystych
\(6\cdot8=48\\66\cdot68=4488\\666\cdot668=444888\)
Zauważ też, że:
\(8\cdot6=48\\68\cdot6=408\\668\cdot6=4008\)
Niech a=66...68 (n szóstek i ósemka)
\(a=60+600+...+60\cdot10^{n-1}+8=60\cdot\frac{1-10^n}{1-10}+8=60\cdot\frac{10^n-1}{9}+8\\6a=\frac{360}{9}(10^n-1)+48=40(10^n-1)+48=40\cdot10^n-40+48=4\cdot10^{n+1}+8\)
\(60a=4\cdot10^{n+2}+8\cdot10\\600a=4\cdot10^{n+3}+8\cdot10^2\\6\cdot10^{n+1}a=4\cdot10^{2n+1}+8\cdot10^n\)
Niech b=666...6 (n+1 szóstek)
\(a\cdot\ b=6a+60a+...+6\cdot10^na=\\=4\cdot10^{2n+1}+8\cdot10^n+4\cdot10^{2n}+8\cdot10^{n-1}+...+4\cdot10^{n+1}+8=\\=4\cdot(10^{2n+1}+10^{2n}+...+10^{n+1})+8\cdot(10^n+10^{n-1}+...+10+1)\)
Można więc stwierdzić, że każda liczba postaci 44...488..8 (po n czwórek i ósemek) to iloczyn liczb: 66..6 (n szóstek) i 66..68 (n-1 szóstek i ósemka), czyli kolejnych liczb parzystych
Można też pokazać, że x=y, gdzie:
\(x=44...488...8\) - liczba napisana przy pomocy n szóstek i n ósemek
\(y=66...6\cdot(66...6+2)\)- iloczyn liczby zapisanej przy pomocy n szóstek przez liczbę o 2 od niej większą
\(x=a+b\), gdzie \(a=44...4\)- liczba zapisana przy pomocy (2n) czwórek \(b=44...4\)- liczba zapisana przy pomocy n czwórek
\(a=4+40+400+...+4\cdot10^{2n-1}\)- suma ciągu geometrycznego
\(a=4\cdot\frac{1-10^{2n}}{1-10}=\frac{4}{9}(10^{2n}-1)\)
\(b=4+40+...+4\cdot10^{n-1}=4\cdot\frac{1-10^n}{1-10}=\frac{4}{9}(10^n-1)\)
\(x=a+b=\frac{4}{9}(10^{2n}+10^n-2)\)
\(y=6\cdot\frac{1-10^n}{1-10}\cdot(6\cdot\frac{1-10^n}{1-10}+2)=\frac{6}{9}(10^n-1)\cdot[\frac{6}{9}(10^n-1)+2]=\\=\frac{2}{3}\cdot(10^n-1)\cdot[\frac{2}{3}(10^n-1)+2]=\frac{4}{9}(10^n-1)^2+\frac{4}{3}(10^n-1)=\\=\frac{4}{9}(10^{2n}-2\cdot10^n+1)+\frac{12}{9}(10^n-1)=\\=\frac{4}{9}(10^{2n}-2\cdot10^n+1+3\cdot10^n-3)=\frac{4}{9}(10^{2n}+10^n-2)\)
\(x=y\)
\(x=44...488...8\) - liczba napisana przy pomocy n szóstek i n ósemek
\(y=66...6\cdot(66...6+2)\)- iloczyn liczby zapisanej przy pomocy n szóstek przez liczbę o 2 od niej większą
\(x=a+b\), gdzie \(a=44...4\)- liczba zapisana przy pomocy (2n) czwórek \(b=44...4\)- liczba zapisana przy pomocy n czwórek
\(a=4+40+400+...+4\cdot10^{2n-1}\)- suma ciągu geometrycznego
\(a=4\cdot\frac{1-10^{2n}}{1-10}=\frac{4}{9}(10^{2n}-1)\)
\(b=4+40+...+4\cdot10^{n-1}=4\cdot\frac{1-10^n}{1-10}=\frac{4}{9}(10^n-1)\)
\(x=a+b=\frac{4}{9}(10^{2n}+10^n-2)\)
\(y=6\cdot\frac{1-10^n}{1-10}\cdot(6\cdot\frac{1-10^n}{1-10}+2)=\frac{6}{9}(10^n-1)\cdot[\frac{6}{9}(10^n-1)+2]=\\=\frac{2}{3}\cdot(10^n-1)\cdot[\frac{2}{3}(10^n-1)+2]=\frac{4}{9}(10^n-1)^2+\frac{4}{3}(10^n-1)=\\=\frac{4}{9}(10^{2n}-2\cdot10^n+1)+\frac{12}{9}(10^n-1)=\\=\frac{4}{9}(10^{2n}-2\cdot10^n+1+3\cdot10^n-3)=\frac{4}{9}(10^{2n}+10^n-2)\)
\(x=y\)