liczby nieparzyste

[xxxXMadZiaRaXxxx]

mam problem z rozwiązaniem tego zadania
Znaleźć liczbę pierwszą p , jeśli wiadomo, że p+10 i p+14 są także liczbami pierwszymi.
Pokazać, że kwadrat liczby pierwszej p>5 daje resztę 1 lub 19 przy dzieleniu przez 30.

[irena]

Taką liczbą jest p=3. (13 i 17 to też liczby pierwsze).
Liczba p nie może być równa 2, bo 2+10 to liczba złożona (parzysta, większa od 2).

Pokażemy, że p=3 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunek zadania.
Jeśli p jest liczbą pierwszą, i jest większa od 3, to jest postaci 3k+1 lub 3k+2, gdzie k jest liczbą naturalną.
1)
\(p=3k+1\ \Rightarrow \ p+14=3k+15=3(k+5)\), czyli liczba (p+14) nie jest liczbą pierwszą (jest większa od 3 i dzieli się przez 3)

2)
\(p=3k+2\ \Rightarrow \ p+10=3k+12=3(k+4)\), czyli liczba (p+10) nie jest liczbą pierwszą.

Wniosek: Jedyna liczba pierwsza p taka, że liczby: (p+10) i (p+14) są liczbami pierwszymi, to liczba p=3.

[irena]

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, większą od 5, to nie jest liczbą parzystą, nie dzieli się przez 3 i nie dzieli się przez 5.
Liczba p w dzieleniu przez 30 daje więc resztę równą: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 lub 29.

Jeśli p=30n+r, to
\(p^2=(30+r)^2=(30n)^2+30\cdot2n+r^2\),
czyli kwadrat liczby p daje w dzieleniu przez 30 taką samą resztę, jak kwadrat liczby r.

Wystarczy więc sprawdzić reszty z dzielenia przez 30 podanych wartości.
\(1^2=1_{(mod30)}\)
\(7^2=49=19_{(mod30)}\)
\(11^2=121=1_{(mod30)}\)
\(13^2=169=19_{(mod30)}\)
\(17^2=289=19_{(mod30)}\)
\(19^2=361=1_{(mod30)}\)
\(23^2=529=19_{(mod30)}\)
\(29^2=841=1_{(mod30)}\)

Jak widzimy- jedyne reszty to 1 lub 19.