pokaż, że zachodzi wzór

[plotek]

Pokazać, że dla każdego naturalnego n zachodzi wzór
\([ \sqrt{9n-1}]=[\ sqrt{n-1} + \sqrt{n} + \sqrt{n+1} ]\)
gdzie [x] jest największą liczbą całkowitą nie większą od x.

Wiem, że jest to zadanie z: XXXVI OM - I - Zadanie 12

ale nie rozumiem tego rozwiązania. Czy mógłby ktoś rozpisać ładnie to zadanie, bez skrótów, zebym wiedzial skąd to się wzieło??

[gpl1260]

http://archom.ptm.org.pl/?q=node/802
Jest dość długie.
Wskaż lub przytocz niejasne dla Ciebie przejście.

[plotek]

tam gdzie jest (*) nie rozumien nierówności podwójnej. Na samej górze pierwsza nierówność z (*) tam gdzie jest \(\frac{2}{3}\) ...

[plotek]

Nierozumiem takze tego przejścia "Dodając do nierówności (*) oczywistą nierówność podwójną" ...

[gpl1260]

tam gdzie jest (*) nie rozumien nierówności podwójnej. Na samej górze pierwsza nierówność z (*) tam gdzie jest \(\frac{2}{3}\) ...

Dowód obu nierówności jest trywialny (przekształcenia równoważne: stronami do kwadratu, redukcje itd.), więc niejasne jest pewnie skąd w ogóle wzięły się te nierówności.
Różnica między zadaniami szkolnymi a olimpijskimi polega na tym, że te pierwsze wymagają jedynie odtworzenia (często bezmyślnie) jakiegoś algorytmu (a bywa nawet, że myślenie jest niewskazane), natomiast te drugie wymagają (na ogół) pomysłu (czasem nie jednego). Tutaj pomysł polega na wymyśleniu tego typu nierówności. Nie jest ona trywialna, przy \(\sqrt{n}\) stoją wszędzie te same współczynniki (dwójki), więc na pierwszy rzut oka nie widać nawet że dla prawie wszystkich n tak będzie (nie mówiąc już o tym, by było tak dla wszystkich n>2). Ale po sprawdzeniu okazuje się, że nierówność jest prawdziwa.
Idea nierówności (*) staje się jasna, gdy popatrzymy na nierówność (**). Pokazuje ona, że sumę pierwiastków którą mamy po prawej stronie tezy, można zawrzeć pomiędzy pierwiastkiem występującym po lewej stronie, a czymś co się od niego bardzo niewiele różni (\(\sqrt{9n}\)).
Być może nawet nierówność (**) była dla autora tego rozwiązania punktem wyjścia, a dopiero później pojawiła się nierówność (*). Rozwiązanie zostało tak napisane, by każda następna nierówność była konsekwencją poprzedniej, co nie znaczy, że dokładnie taki był tok rozumowania autora.

[plotek]

Ja na dal nie wiem jak powstała nierówność (*)? Nie mogę tego obczaić. Skąd te 2/3... mógłbyś mi to rozpisać...

[gpl1260]

Jak mogła powstać, to opisałem powyżej.
Jak ją udowodnić to inne pytanie, ale dowód jest prosty i jest opisany w firmowym rozwiązaniu.

[plotek]

Nie zrozumieliśmy się. Czy mógłbyś mi jeszcze raz powiedzieć skąd te 2/3 na początku w nierówności (*) i na końcu liczba 2. Czy poprostu sobie tak dopisaliśmy te liczby??

[plotek]

i jeszcze jedno. Na końcu rozwiązanie dla n=1 mamy liczby, które należą do przedziału (2;3) i dla n=2 mamy (4;5) skąd siębiorą te przedziały??

[gpl1260]

To środkowe wyrażenie, czyli \(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}\), zachowuje się "prawie jak" \(2\sqrt{n}\) (w tym sensie, że granica ilorazu wynosi 1). Podobnie jest z wyrażeniami \(\frac{2}{3}\sqrt{9n-1}\) i \(2\sqrt{n}\) (bo \(\frac{2}{3}\sqrt{9n-1}=\sqrt{\frac{4}{9}(9n-1)}=\sqrt{2n-4/9}\simeq\sqrt{2n}\)).

Dlatego właśnie nierówność (*) ma szanse "sama załatwić sprawę" w tym zadaniu. Jest to silna nierówność. Gdyby zamiast 2/3 dać np. współczynnik 1/2, to lewa nierówność oczywiście pozostałaby prawdziwa, ale byłaby spełniona w trywialny sposób (współczynniki zostały tak dobrane, by nierówność nie była spełniona trywialnie, z tego powodu że lewa strona rośnie wolniej niż środek, a środek wolniej niż prawa strona) i okazałaby się niewystarczająca do udowodnienia naszej tezy o równości części całkowitych, gdzie właśnie trzeba być bardzo dokładnym i użyć odpowiednio silnej nierówności, z wyrażeniami rosnącymi jednakowo szybko.

[plotek]

i jeszcze jedno. Na końcu rozwiązanie dla n=1 mamy liczby, które należą do przedziału (2;3) i dla n=2 mamy (4;5) skąd się biorą te przedziały??

[gpl1260]

4<8<9, więc po przyłożeniu pierwiastków masz \(2=\sqrt{4}<\sqrt{8}<\sqrt{9}=3\).
Podobnie \(\sqrt{0}+\sqrt{1}+\sqrt{2}>\sqrt{0}+\sqrt{1}+\sqrt{1}=2\) itp. proste szacowania. W tym nie ma nic niezwykłego.

[plotek]

do którego równania się te liczby podstawia bo nie moge dojść do tego

[gpl1260]

Wstawiasz n=1oraz n=2 w nierówności którą masz wykazać. Bo wcześniej (przy pomocy (*) itd.) pokazana była dla n>2, trzeba sprawdzić że zachodzi także w pozostałych przypadkach.

[plotek]

to rozumiem, ale dalej nie wiem dalej... n=1 mam pierwiastek z 8 itd. tak jak w rozwiązaniu. Ale nie wiem dalej jak ... co z tym kwadratowymi nawiasami?