liczba złożona

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gelo
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 42
Rejestracja: 22 lis 2010, 16:06

liczba złożona

Post autor: gelo »

Niech \(n \ge 2\). Pokazać, że jeśli n nie jest postaci \(n=6k+3,\)to \(n ^{2}+2 ^{n}\) jest złożona.
gpl1260
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 646
Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
Otrzymane podziękowania: 171 razy
Płeć:

Post autor: gpl1260 »

Dla n parzystych trywialne, dla nieparzystych postaci 6k+1 oraz 6k+5 wystarczy popatrzeć na reszty modulo 3. Też trywialne.
gelo
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 42
Rejestracja: 22 lis 2010, 16:06

Post autor: gelo »

Możesz to rozpisać dla mnie to niestety nie jest trywialne :(
gpl1260
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 646
Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
Otrzymane podziękowania: 171 razy
Płeć:

Post autor: gpl1260 »

Dla n parzystych mamy liczby parzyste większe od 4, a więc złożone.

Jak n jest postaci 6k+1, to
\(n^2+2^n = 36k^2+12k+1+2\cdot 4^{3k} \equiv 1+2 \equiv 0\pmod{3}\)
i nasza liczba jest złożona, bo podzielna przez 3 i większa od 3 (bo n>1 z założenia).

Podobnie dla n postaci 6k+5.
ODPOWIEDZ