Forum serwisu

gelo · Post autor: **gelo** » 27 lis 2010, 20:33

Pokazać, że \(NWD(a,b)NWD(b,c)NWD(c,a)NWW(a,b,c)=abcNWD(a,b,c)\).

gpl1260 · Post autor: **gpl1260** » 28 lis 2010, 01:36

Niech d=NWD(a,b,c), wtedy a=dA, b=dB, c=dC dla pewnych A,B,C naturalnych nie mających wspólnego dzielnika.
Teza jest wówczas równością \(NWD(A,B)NWD(B,C)NWD(C,A)=\frac{ABC}{NWW(A,B,C)}\).
Niech teraz x=NWD(A,B). Wówczas A=px, B=qx dla pewnych p,q względnie pierwszych, i równość powyższa staje się równością \(NWD(qx,C)NWD(C,px)=\frac{pqC}{NWW(p,q,C)}\). Analogicznie "eliminujesz" następny czynnik po lewej stronie i zostaje oczywista tożsamość.

gelo · Post autor: **gelo** » 28 lis 2010, 11:36

Możesz to dalej rozpisać??

gpl1260 · Post autor: **gpl1260** » 28 lis 2010, 14:50

Dalej przez t oznaczmy NWD(qx,C). Skoro A,B,C nie miały wspólnego dzielnika, to t=NWD(q,C). Istnieją więc u,v względnie pierwsze takie że q=tu, C=tv. Ponieważ t i q oraz q i v są względnie pierwsze, więc NWW(p,q,C)=tqNWW(p,v) i do wykazania zostaje NWD(u,v)=uv/NWW(u,v), co jest znaną (i dość oczywistą) zależnością łączącą NWD i NWW dwóch liczb.

gelo · Post autor: **gelo** » 28 lis 2010, 20:01

A co się stało z NWD(C,px)??