NWD

[gelo]

Pokazać, że jeśli \(NWD(a,b)=1\) ,to \(NWD(a ^{3}+b ^{3},a ^{2}+b ^{2}) | (a-b).\)

[gpl1260]

Niech d będzie tym NWD. Jeśli d=1, nie ma czego dowodzić.
Niech dalej d>1. Liczba d jest dzielnikiem liczby (a+b)(a^2+b^2)-(a^3+b^3)=ab(a+b).
Ponieważ d względnie pierwsze z ab, to d musi dzielić a+b.
Wtedy d dzieli (a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab, skąd d|2, co prawie kończy dowód.