część ułamkowa

[plotek]

Mam problem jeszcze z takim zadaniem:

Pokazać, że dla każdego n zachodzi \(n sqrt7 \{n sqrt7} > {3 \over 2}\).
\(\{n sqrt7}\\) oznacza część ułamkową liczby \(n sqrt7\).

[Galen]

Niech część ułamkowa liczby \(x=n \sqrt{7}-2n\;\;\;\;i\;\;\;n \in N_+\)
ponieważ \(2< \sqrt{7}<3\)

\(n \sqrt{7} \cdot x= n \sqrt{7}(n \sqrt{7}-2n)=7n^2-2n^2 \sqrt{7}=n^2(7-2 \sqrt{7})=
= \frac{n^2(7-2 \sqrt{7})(7+2 \sqrt{7}) }{7+2 \sqrt{7} }= \frac{n^2(49-28)}{7+2 \sqrt{7} }= \frac{n^2 \cdot 21}{ 7(1+ \frac{2}{ \sqrt{7}) } }=n^2 \cdot \frac{3}{1+ \frac{2}{ \sqrt{7} } }>n^2 \cdot \frac{3}{2}\)
Zastosowany fakt:
\(\frac{2}{ \sqrt{7} }<1\;\;bo\;\; \sqrt{7}>2\)

[plotek]

dzieki

[plotek]

Czy możesz mi powiedzieć dlaczego w części ułamkowej liczby x odejmujesz \(-2n\). ?
Skąd się wzieło \(-2n\) bo nie obczajam.

[gpl1260]

Ustalmy n i oznaczmy \(t=n\sqrt{7}\). Trzeba pokazać że \(t(t-\lfloor t\rfloor)>\frac{3}{2}\) czyli \(t(7n^2-\lfloor t\rfloor^2)>\frac{3}{2}(t+\lfloor t\rfloor)\). Różnica w nawiasie jest oczywiście dodatnia, a więc nie mniejsza niż 1 (bo to liczba całkowita). Jednak 1 być nie może, 2 tez nie, bo daje modulo 7 jedną z reszt 0,3,5,6. Zatem \(7n^2-\lfloor t\rfloor^2\ge 3\) i wystarczy pokazać że \(3t>\frac{3}{2}(t+\lfloor t\rfloor)\), czyli \(t>\lfloor t\rfloor\), a to jest oczywiste bo t niewymierne.