liczba naturalna

[plotek]

Wyznaczyć wszystkie n dla których liczba \(4^n-3^n\) jest kwadratem liczby naturalnej.

[radagast]

Uwaga będzie mętnie (ale chyba poprawnie). Jesli nie, to pokażcie mi błąd w rozumowaniu:

\(4^n-3^n=4^n(1- (\frac{3}{4})^n)= (2^n)^2(1- (\frac{3}{4})^n)\) to jest kwadrat liczby człkowitej w dwóch przypadkach:
1) \((1-( \frac{3}{4})^n)\) jest kwadratem liczby całkowitej
2) \((1-( \frac{3}{4})^n)\) jest odwrotnością kwadratu liczby całkowitej (i to takiej która dzieli \(2^n\))

(bo kwadrat kiczby całkowinej pomnożenej przez coś ma byś kwadratem liczby calkowitej)

przypadek 1) nastąpi wyłącznie dla n=0

przypadek 2) nastąpi wyłącznie dla n=1
To oczywiście wymaga dowodu:
\(1-( \frac{3}{4})^n\)=\(\frac{1}{k^2} \Leftrightarrow\)
\(( \frac{3}{4} )^n=1- \frac{1}{k^2} \Leftrightarrow\)
\(( \frac{3}{4} )^n=\frac{k^2-1}{k^2} \Leftrightarrow\)
licznik różni się od mianownika o 1\(\Leftrightarrow\) n=1

Odp: \(4^n-3^n\)jest kwadratem liczby całkowitej wyłącznie dla n=0 i n=1

Dobrze to jest ? czy nie ?

[plotek]

Kwadrat liczby naturalnej jest w zadaniu.

Podobno trzeba to tak rozpisać: \(x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})\)
i rozpatrzyć 2 przypadki na n parzyste i n nieparzyste, ale ja nie wiem jak to zrobić.

[radagast]

Tez tak kombinowałam ale nie wyszło. Dlatego wymysliłam to co powyżej

[plotek]

To co napisałaś wcześniej odp. że jest kwadratem liczby całkowitej ... to powinno chyba być liczby naturalnej tak jak jest w zadaniu.?

[radagast]

No tak, to przejęzyczenie. Ale to chyba nie ma znaczenia ? W końcu to i tak kwadrat.

[gpl1260]

Niech n takie że mamy kwadrat: \(4^n-3^n=k^2\). Wtedy \(2^n-k=3^p\) oraz \(2^n+k=3^q\) dla pewnych p,q całkowitych, 0<=p<q<= n. Stąd po dodaniu stronami \(2^n*2=3^p+3^q\) skąd wynika że p=0. Zatem \(2^n*2=3^n+1\), co jest możliwe tylko dla n=1, bo dla n>1 zachodzi \(3^n>2^{n+1}\).


radagast: nie jest dobrze, bo z przedstawienia kwadratu liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb wymiernych (!) nie wynika że czynniki są kwadratami liczb naturalnych.

[radagast]

Ano nie wynika. Ale:
1) ten pierwszy czynnik to nie jest przypadkowy (jest potęgą dwójki)
2) rozważam tez drugi przypadek kedy to sie poskraca i z tego pierwszego czynnika (potęgi dwójki) zostanie pełen kwadrat.
Mówiłam że będzie mętnie ale nadal nie wytknięto mi błędu w rozumowaniu (ja nie twierdzę, że z przedstawienia kwadratu liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb wymiernych wynika że czynniki są kwadratami liczb naturalnych).

[radagast]

[quote="gpl1260"]
Niech n takie że mamy kwadrat: 4^n-3^n=k^2. Wtedy 2^n-k=3^p oraz 2^n+k=3^q dla pewnych p,q całkowitych, 0<=p<q<= n. Stąd po dodaniu stronami 2^n*2=3^p+3^q skąd wynika że p=0. Zatem 2^n*2=3^n+1, co jest możliwe tylko dla n=1, bo dla n>1 zachodzi 3^n>2^{n+1}.

Możesz napisać w jaki sposób to wynika (to co podkreśliłam)

[radagast]

?

[gpl1260]

p całkowite nieujemne jest, gdyby nie było zerem, to prawa strona równości 2^n*2=3^p+3^q dzieliłaby się przez 3, czyli lewa też (bo zachodzi równość), czyli potęga dwójki podzielna przez 3 - sprzeczność.


u Ciebie nie jest dobre przejście do 1) i 2).
Weźmy na przykład \(2^4\cdot(3/2)^2\).
Jest to iloczyn postaci jak u Ciebie - jest to kwadrat liczby naturalnej, ponadto jednym z czynników rozkładu jest kwadrat potęgi dwójki. I niestety, nie zachodzi 1) ani 2), bo ani 2/3 ani jego odwrotność nie jest liczbą całkowitą.

W ogóle przy rozbiciu na iloczyn z wymiernymi czynnikami niewiele da się powiedzieć. Jedyne co możemy tam stwierdzić to to, że ten drugi czynnik jest kwadratem liczby wymiernej, a to trochę mało do rozwiązania tego zadania

Prawdą jest natomiast że jak przedstawimy potęgę liczby naturalnej w postaci iloczynu czynników naturalnych parami względnie pierwszych, to wtedy każdy z czynników musi być potęgą liczby naturalnej. Tu gdyby chcieć z tego korzystać, to trzeba by rozbić na przypadek n parzystego i nieparzystego, dla parzystego można z tej własności korzystać (4^{2n}-3^{2n}=(4^n-3^n)(4^n+3^n) i czynniki wzg.p.) ale dla nieparzystego nie, i nie wiadomo co z tym drugim przypadkiem zrobić (tzn. można zrobić coś podobnego jak zrobiłem, tylko wtedy po co rozbijać na przypadki).

[radagast]

Ok, przekonałeś mnie. Moj dowód nie przejdzie.

Powiedz mi jeszcze jak wnioskujesz, ze skoro p=0 to \(2^n*2=1+3^n\).
Dla mnie to tam powinno być \(2^n*2=1+3^q\).
(nie wiem skąd wiesz, ze musi być q=n)

[gpl1260]

Liczby p,q wzięły się z rozkładu 3^n na iloczyn dwóch potęg trójki (po jednej na każdy z czynników: 3^p i 3^q na 2^n-k i 2^n+k odpowiednio), więc p+q=n.

[radagast]

a no tak ! dzieki za wyjaśnienia
pozdrawiam