Liczby wymierne i niewymierne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
4.
Załóżmy, że liczba \(\sqrt{3}\) jest liczbą wymierną. Można ją więc przedstawić jako ułamek zwykły nieskracalny.
Czyli- istnieją takie całkowite liczby p i q, że \(q \neq 0\), a liczby p i q są względnie pierwsze, czyli \(NWD(p,\ q)=1\) i \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
\(\frac{p}{q}=\sqrt{3}\\\frac{p^2}{q^2}=3\\p^2=3q^2\)
wynika stąd, że liczba \(p^2\) dzieli się przez 3. Ale liczba p jest liczbą całkowitą. Jeśli jej kwadrat dzieli się przez 3, to \(p^2\) dzieli się przez 9.
Z równości \(3p^2=q^2\) wynika, że w takim wypadku liczba \(q^2\) musi dzielić się przez 3. Ale jeśli kwadrat liczby całkowitej dzieli się przez 3, to ta liczba też musi dzielić przez 3.
wynika stąd, że \(NWD(p,\ q) \ge 3\), co jest sprzeczne z założeniem.
Załóżmy, że liczba \(\sqrt{3}\) jest liczbą wymierną. Można ją więc przedstawić jako ułamek zwykły nieskracalny.
Czyli- istnieją takie całkowite liczby p i q, że \(q \neq 0\), a liczby p i q są względnie pierwsze, czyli \(NWD(p,\ q)=1\) i \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
\(\frac{p}{q}=\sqrt{3}\\\frac{p^2}{q^2}=3\\p^2=3q^2\)
wynika stąd, że liczba \(p^2\) dzieli się przez 3. Ale liczba p jest liczbą całkowitą. Jeśli jej kwadrat dzieli się przez 3, to \(p^2\) dzieli się przez 9.
Z równości \(3p^2=q^2\) wynika, że w takim wypadku liczba \(q^2\) musi dzielić się przez 3. Ale jeśli kwadrat liczby całkowitej dzieli się przez 3, to ta liczba też musi dzielić przez 3.
wynika stąd, że \(NWD(p,\ q) \ge 3\), co jest sprzeczne z założeniem.
7.
Jeśli liczby: (a+b) i (b+c) są wymierne, to ich różnica też jest wymierna. Czyli liczba (a-c) jest wymierna.
Jeśli liczby (c+d) i (d+e) są wymierne, to ich różnica jest wymierna. Czyli liczba (c-e) jest wymierna.
Suma dwóch otrzymanych liczb: (a-c) i (c-e) jest liczbą wymierną. Czyli liczba (a-e) jest liczbą wymierną.
Wiemy, że wymierna jest liczba (e+a). Wynika stąd, że liczba (a-e)+(e+a)=2a jest liczbą wymierną.
Stąd wniosek- liczba a jest liczbą wymierną.
Jeśli a jest liczbą wymierną i liczba (a+b) jest wymierna, to różnica tych liczb, czyli liczba (a+b)-a=b jest liczbą wymierną.
Analogicznie: liczby c, d, e są wymierne.
Tak, możemy tak wnioskować.
Jeśli liczby: (a+b) i (b+c) są wymierne, to ich różnica też jest wymierna. Czyli liczba (a-c) jest wymierna.
Jeśli liczby (c+d) i (d+e) są wymierne, to ich różnica jest wymierna. Czyli liczba (c-e) jest wymierna.
Suma dwóch otrzymanych liczb: (a-c) i (c-e) jest liczbą wymierną. Czyli liczba (a-e) jest liczbą wymierną.
Wiemy, że wymierna jest liczba (e+a). Wynika stąd, że liczba (a-e)+(e+a)=2a jest liczbą wymierną.
Stąd wniosek- liczba a jest liczbą wymierną.
Jeśli a jest liczbą wymierną i liczba (a+b) jest wymierna, to różnica tych liczb, czyli liczba (a+b)-a=b jest liczbą wymierną.
Analogicznie: liczby c, d, e są wymierne.
Tak, możemy tak wnioskować.
9.
Jeśli n jest liczbą naturalną, to liczby n i (n+1) to dwie kolejne kolejne liczby naturalne. Są to więc liczby względnie pierwsze. Czyli ich największy wspólny dzielnik jest równy 1. Żeby liczba \(\sqrt{n(n+1)}\) była liczbą wymierną, musiałoby być tak, że liczba n(n+1) jest kwadratem liczby naturalnej.
Musi być więc tak, że
- albo jedna z nich jest równa 1, a druga jest kwadratem liczby naturalnej (niemożliwe, bo jeśli mniejsza z nich, n=1, to n+1=2, a \(\sqrt{1\cdot2}=\sqrt{2}\) nie jest liczbą wymierną)
-albo obie są kwadratami liczb naturalnych.
Niech więc \(n=a^2\) i \(n+1=b^2\)
Wtedy \(b^2-a^2=1\). Jedyne liczby całkowite, których kwadraty różnią się o 1 to liczby -1 i 0 lub 0 i 1. Żadna z par liczb warunku zadania nie spełnia (bo n>0).
Wniosek- liczba \(\sqrt{n(n+1)}\) jest liczbą niewymierną.
Jeśli n jest liczbą naturalną, to liczby n i (n+1) to dwie kolejne kolejne liczby naturalne. Są to więc liczby względnie pierwsze. Czyli ich największy wspólny dzielnik jest równy 1. Żeby liczba \(\sqrt{n(n+1)}\) była liczbą wymierną, musiałoby być tak, że liczba n(n+1) jest kwadratem liczby naturalnej.
Musi być więc tak, że
- albo jedna z nich jest równa 1, a druga jest kwadratem liczby naturalnej (niemożliwe, bo jeśli mniejsza z nich, n=1, to n+1=2, a \(\sqrt{1\cdot2}=\sqrt{2}\) nie jest liczbą wymierną)
-albo obie są kwadratami liczb naturalnych.
Niech więc \(n=a^2\) i \(n+1=b^2\)
Wtedy \(b^2-a^2=1\). Jedyne liczby całkowite, których kwadraty różnią się o 1 to liczby -1 i 0 lub 0 i 1. Żadna z par liczb warunku zadania nie spełnia (bo n>0).
Wniosek- liczba \(\sqrt{n(n+1)}\) jest liczbą niewymierną.
\(11111111_2=(2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0)_{10}=(128+64+32+16+8+4+2+1)_{10}=255_{10}\)Paweek pisze:niestety w pierwszym i drugim jest błąd,
1. (11111111)
2. (21)
1.
Źle przeczytałam liczbę- ja przedstawiłam liczbę 225, a nie 255.
2.
Rzeczywiście- źle dodałam, bo przedstawienie jest poprawne:
\(10101_2=(2^4+2^2+2^0)_{10}=21_{10}\)