Kongruencje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
3.
\(a=2^4\cdot3^7\cdot6^9=2^4\cdot3^7\cdot2^9\cdot3^9=2^{13}\cdot3^{16}\\b=2^6\cdot3^{11}\cdot4^5=2^6\cdot3^{11}\cdot2^{10}=2^{16}\cdot3^{11}\\c=2^{10}\cdot3^3\cdot10^2=2^{10}\cdot3^3\cdot2^2\cdot5^2=2^{12}\cdot3^3\cdot5^2\)
\(NWD(a,\ b,\ c)=2^{12}\cdot3^3\)
\(NWW(a,\ b,\ c)=2^{16}\cdot3^{16}\cdot5^2\)
\(a=2^4\cdot3^7\cdot6^9=2^4\cdot3^7\cdot2^9\cdot3^9=2^{13}\cdot3^{16}\\b=2^6\cdot3^{11}\cdot4^5=2^6\cdot3^{11}\cdot2^{10}=2^{16}\cdot3^{11}\\c=2^{10}\cdot3^3\cdot10^2=2^{10}\cdot3^3\cdot2^2\cdot5^2=2^{12}\cdot3^3\cdot5^2\)
\(NWD(a,\ b,\ c)=2^{12}\cdot3^3\)
\(NWW(a,\ b,\ c)=2^{16}\cdot3^{16}\cdot5^2\)
7.
\(n=1\ (mod\ 3)\ \Rightarrow \ n^3=1^3=1\ (mod\ 9)\)
\(n=-1\ (mod\ 3)\ \Rightarrow \ n^3=(-1)^3=-1\ (mod\ 9)\)
8.
\(n\in\ N_+\ \wedge \ n>1\\n^2-1\ \in\ P\)
\(n^2-1=(n-1)(n+1)\ \in\ P\)
Liczba \(n^2-1\) jest iloczynem dwóch dodatnich całkowitych liczb. Jeśli jest to liczba pierwsza, to mniejszym czynnikiem musi być 1.
Czyli
\(n-1=1\\n=2\\2^2-1=3\)
Jedyną liczbą pierwszą postaci \(n^2-1\) jest liczba 3.
\(n=1\ (mod\ 3)\ \Rightarrow \ n^3=1^3=1\ (mod\ 9)\)
\(n=-1\ (mod\ 3)\ \Rightarrow \ n^3=(-1)^3=-1\ (mod\ 9)\)
8.
\(n\in\ N_+\ \wedge \ n>1\\n^2-1\ \in\ P\)
\(n^2-1=(n-1)(n+1)\ \in\ P\)
Liczba \(n^2-1\) jest iloczynem dwóch dodatnich całkowitych liczb. Jeśli jest to liczba pierwsza, to mniejszym czynnikiem musi być 1.
Czyli
\(n-1=1\\n=2\\2^2-1=3\)
Jedyną liczbą pierwszą postaci \(n^2-1\) jest liczba 3.
9.
\(p\in\ P\\3p+1\in\ P\)
Jeśli p=2, to \(3p+1=3\cdot2+1=7\in\ P\)
Jeśli p>2, to p musi być liczbą nieparzystą (jedyna parzysta liczba pierwsza to liczba 2). Wynika stąd, że liczba 3p+1>7 i 3p+1 musi być liczbą parzystą. Ale jest to niemożliwe, bo p>2, a jedyna parzysta liczba pierwsza to liczba 2.
jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunek zadania jest liczba p=2.
\(p\in\ P\\3p+1\in\ P\)
Jeśli p=2, to \(3p+1=3\cdot2+1=7\in\ P\)
Jeśli p>2, to p musi być liczbą nieparzystą (jedyna parzysta liczba pierwsza to liczba 2). Wynika stąd, że liczba 3p+1>7 i 3p+1 musi być liczbą parzystą. Ale jest to niemożliwe, bo p>2, a jedyna parzysta liczba pierwsza to liczba 2.
jedyną liczbą pierwszą spełniającą warunek zadania jest liczba p=2.
10.
Liczba dzieli się przez 75, jeśli dzieli się przez 25 i przez 3.
- liczba dzieli się przez 25, jeśli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 25.
- liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3.
1)
b- cyfra dziesiątek
\(b=2\ \vee \ b=7\)
2)
a- druga nieznana cyfra
Suma cyfr liczby jest równa 10+a+b.
Jeśli b=2, to a może być równa 0, 3, 6 lub 9.
Jeśli b=7, to a może być równa 1, 4 lub 7.
Jedyna para, dla której a=b, to a=b=7.
Jedyna taka liczba jest 372000000175.
Liczba dzieli się przez 75, jeśli dzieli się przez 25 i przez 3.
- liczba dzieli się przez 25, jeśli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 25.
- liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3.
1)
b- cyfra dziesiątek
\(b=2\ \vee \ b=7\)
2)
a- druga nieznana cyfra
Suma cyfr liczby jest równa 10+a+b.
Jeśli b=2, to a może być równa 0, 3, 6 lub 9.
Jeśli b=7, to a może być równa 1, 4 lub 7.
Jedyna para, dla której a=b, to a=b=7.
Jedyna taka liczba jest 372000000175.
-
gpl1260
- Stały bywalec
- Posty: 646
- Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
- Otrzymane podziękowania: 171 razy
- Płeć:
11. zauważyć że potęgi 4 modulo 100 okresowe
12. z MTF 19 dzieli 10^{18}-1=(10^9-1)(10^9+1) a że 19 pierwsza jest to 10^n może dawać reszte 1 tylko dla n podzielnego przez 19-1, nie dla n=9, stąd pierwszy czynnik niepodzielny przez 19
13. jak 11
14. kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje reszte 1 mod 3
15. sprowadza sie do 7|2x-3 co można na palcach sprawdzić
12. z MTF 19 dzieli 10^{18}-1=(10^9-1)(10^9+1) a że 19 pierwsza jest to 10^n może dawać reszte 1 tylko dla n podzielnego przez 19-1, nie dla n=9, stąd pierwszy czynnik niepodzielny przez 19
13. jak 11
14. kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje reszte 1 mod 3
15. sprowadza sie do 7|2x-3 co można na palcach sprawdzić