Indukcja - nierówność

[Tillo]

Witam, mam problem z dokończeniem pewnego zadania. Oto ono
Metodą indukcji matematycznej uzasadnić nierówność:
\(n!<\left(\frac{n}{2}\right)^{n},n \ge 6\)

Dla \(n=6:\)
\(6!<\left(\frac{6}{2}\right)^{6}\)
\(720<729\)

Zakładam prawdziwość dla pewnego k:
\(k!<\left(\frac{k}{2}\right)^{k}\)
Sprawdzam poprawność tezy dla \(k+1\):
\(\left(k+1\right)!<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}\)
\(k!\left(k+1\right)<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}\)

Korzystając z tezy:
\(k!\left(k+1\right)<\left(\frac{k}{2}\right)^{k}\left(k+1\right)\)

no i dalej nie potrafię doprowadzić tego do odpowiedniej formy, z góry dziękuję za pomoc

[escher]

Napiszę tak: zadanie jest trudne, ale pewnie nie beznadziejne.

W zbiorze Banasia i Wędrychowicza jest w części C o indukcji nierówność słabsza \(n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\)
i dowód jest oparty o nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną.

Tu prosta indukcja prawdopodobnie nie działa, bo po prostu \(\left(\frac{k}{2}\right)^k(k+1)\) jest po prostu większe
od naszego celu, czyli \(\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}\). Żadne doprowadzanie do odpowiedniej formy tu nie pomoże.
Zapewne trzeba skorzystać z założenia indukcyjnego w sposób bardziej pomysłowy.

No i taka uwaga. W dowodzie indukcyjnym możemy skorzystać z zalożenia indukcyjnego. ewentualnie z tezy T(k), ale nie po prostu z tezy, bo to takie sformułowanie, że nie wiadomo z czego tak na prawdę korzystamy. Jak w jakimś dowodzie twierdzenia korzystamy z tezy, to ten dowód jest błędny, bo zawiera błędne koło.
escher

[anka]

bo po prostu \(\left(\frac{k}{2}\right)^k(k+1)\) jest po prostu większe
od naszego celu, czyli \(\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}\).

Wydaje mi się, że jednak \(\left(\frac{k}{2}\right)^k(k+1)<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k+1}\)

Poza tym coś mi nie pasuje w zapisie:
\(k!\left(k+1\right)<\left(\frac{k}{2}\right)^{k}\left(k+1\right)\)
To po prostu wygląda tak jakbyśmy założenie pomnożyli obustronnie przez \((k+1)\)

[Tillo]

Udowadniając w drugą stronę doszedłem do nierówności:
\(n!<\left(\frac{k+1}{2}\right)^{k}\)
Też widziałem ten przykład w zbiorze Banasia i nie tylko tam dlatego dochodzę do wniosku, że na mojej liście zadań jest po prostu błąd

[anka]

Ta Twoja nierówność jest też zdaje się prawdziwa, więc niekoniecznie masz błąd w treści

[anka]

Pewnie już nieaktualne, ale znalazłam podpowiedź na innym forum. Może komuś się kiedyś przyda.


\((k+1)!< \left( \frac{k+1}{2} \right)^{k+1}\)
\((k+1)!=k!(k+1)< \left(\frac{k}{2}\right) ^{k}(k+1)= \frac{ k^{k} (k+1)}{2^k}\)

Wystarczy udowodnić:

\(\frac{ k^{k} (k+1)}{2^k}<\left(\frac{k+1}{2} \right)^{k+1}\)
\(\frac{ k^{k} (k+1)}{2^k}<\left(\frac{k+1}{2} \right)^{k} \cdot \frac{k+1}{2}\)
\(\frac{ k^{k} (k+1)}{2^k}< \frac{(k+1)^k}{2^k} \cdot \frac{k+1}{2}\)
\(k^{k}< \frac{(k+1)^k}{2}\)
\(2k^k<(k+1)^k\)
\(2< (\frac{k+1}{k})^k\)
\(2< (1+\frac{1}{k})^k\)
Prawa strona dąży do \(e\)
\(2< e\)