Relacja równoważności, klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy

[__Ler]

Cześć, proszę bardzo pomoc

Uzasadnij, że następująca relacja \(\approx\) jest relacją równoważności na zbiorze X i wyznacz ich klasy abstrakcji oraz zbiory ilorazowe \(X/\approx\)

\[X= \rr : x \approx y \iff ( \exists t \neq 0)(tx=y)\]

[szw1710]

\(x=1\cdot x\) - zwrotność. Jeśli \(y=tx\), to \(x=\frac{1}{t}y\) - symetria. Jeśli \(y=tx\) oraz \(z=sy\), to \(z=stx\) - przechodniość.

Klasa abstrakcji zera: \(y\approx 0\iff y=t\cdot 0\iff y=0\), więc klasą abstrakcji zera jest singleton \(\{0\}.\)

Niech \(x\ne 0\). Wtedy klasą abstrakcji tego elementu jest \(\rr\setminus\{0\}\). Istotnie, niech \(y\in\rr\setminus\{0\}\). Wtedy \(y=\frac{y}{x}\cdot x\), więc \(y\approx x\). Tak więc zbiorem ilorazowym jest \(\left\{\{0\},\rr\setminus\{0\}\right\}.\)

Oczywiście, jeśli \(y=0\), to \(y\) jest w relacji tylko z zerem, ale \(x\ne 0\).

Kryterium klasyfikacji liczb rzeczywistych jest tu zatem niezerowość. Dwie liczby uznajemy za równoważne, jeśli obie są niezerowe (albo obie zerowe).