Ile jest wszystkich takich ustawień

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
juliobednaro
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 26 lut 2021, 14:40
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Ile jest wszystkich takich ustawień

Post autor: juliobednaro » 16 lis 2022, 22:15

Mamy 7 osób - 4 z rodziny Kowalskich, 3 z rodziny Malinowskich. Ustawiamy je w szeregu tak, że członkowie żadnej z tych rodzin nie stoją w komplecie obok siebie. Ile jest wszystkich takich ustawień, spełniających ten warunek?

Dozwolona jest tylko 1 kolejność
K, M, K, M, K, M, K


Z tego wychodzi, że ustawień jest 4! * 3!, ale nie jestem pewien co do poprawności tego wyniku. Czy ktoś może to potwierdzić / wskazać błąd?

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16307
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9820 razy
Płeć:

Re: Ile jest wszystkich takich ustawień

Post autor: eresh » 16 lis 2022, 22:33

juliobednaro pisze:
16 lis 2022, 22:15
Mamy 7 osób - 4 z rodziny Kowalskich, 3 z rodziny Malinowskich. Ustawiamy je w szeregu tak, że członkowie żadnej z tych rodzin nie stoją w komplecie obok siebie. Ile jest wszystkich takich ustawień, spełniających ten warunek?

Dozwolona jest tylko 1 kolejność
K, M, K, M, K, M, K

Z tego wychodzi, że ustawień jest 4! * 3!, ale nie jestem pewien co do poprawności tego wyniku. Czy ktoś może to potwierdzić / wskazać błąd?
Skoro w komplecie nie mogą stać, to wg mnie ustawienie KKMKKMM też jest dozwolone.
\(7!-2\cdot 4!\cdot 3!\)
(od wszystkich możliwych ustawień odjęłam te, w których rodziny stoją w komplecie)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

juliobednaro
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 26 lut 2021, 14:40
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Ile jest wszystkich takich ustawień

Post autor: juliobednaro » 16 lis 2022, 22:57

Zabronione ustawienia Kowalskich są wtedy, gdy wszyscy stoją koło siebie i jest ich:
4 * 4! * 3!

Zabronionych ustawień Malinowskich jest:
5 * 4! * 3!

Powtarzające się ustawienia to K, K, K, K, M, M, M lub M, M, M, K, K, K, K, więc:
2 * 4! * 3!

Ze wzoru na sumę zbiorów wychodzi
4 * 4! * 3! + 5 * 4! * 3! - 2 * 4! * 3! = (4 + 5 - 2) * (4! * 3!) = 7 * 4! * 3!

Po odjęciu od całości wychodzi w takim razie
7! - 7 * 4! * 3!

Chyba, że gdzieś popełniłem błąd..