Równanie rekurencyjne niejednorodne

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Hacker000
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 22 kwie 2020, 09:37
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Równanie rekurencyjne niejednorodne

Post autor: Hacker000 »

Rozważamy następujący ciąg liczbowy
\(a_0 = 1, a_1 = 2\)
\(a_{k+2} = -3a_{k+1} - 2a_k + 6 \text{ dla } k \in \nn \)

Wyznaczyć jawną postać \(a_n\).


Czy mógłby ktoś mi pomóc i rozpisać krok po kroku schemat jak rozwiązywać takie równania niejednorodne? Nigdzie nie mogę znaleźć, pokazują się tylko równania jednorodne, a mam jutro z tego poprawkę...
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2022, 22:04 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; \text{}
uziom
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 22
Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne

Post autor: uziom »

Rozwiążmy to zadanie metodą anihilatorów.

Niech \(A(x)\) będzie operatorem różnicowym związanym z ciągiem \(a_n\), tzn.
\(A(x)a_n = a_{n+1}\).

Zauważmy, że warunki początkowe ciągu można zapisać jako:
\(a_0=1\implies A(0)a_0=1\)
\(a_1=2\implies A(0)a_1=2\)

Zatem operator różnicowy to:
\(A(x) = 1 + 2x\)

Podstawiając do rekurencyjnego wzoru na \(a_{k+2}\) otrzymujemy:
\(A(x)a_{k+2} = -3A(x)a_{k+1} - 2A(x)a_k + 6A(x)\)
\((x^2 + 3x + 2)a_{k+2} = 6(x+1)\)

Rozwiążmy teraz równanie rekurencyjne.

Postawmy \(b_k=a_k-2\). Wówczas równanie rekurencyjne dla \(a_k\) sprowadza się do:
\(a_{k+2} = -3a_{k+1} - 2a_k + 6 \iff b_{k+2}+2 = -3b_{k+1} - 2b_k\)
\(b_{k+2} = -3b_{k+1} - 2b_k - 2\)

Charakterystyczne równanie dla ciągu \(b_k\) to:
\(r^2 = -3r - 2 \iff r_1=-1, r_2=-2\)

Zatem ogólnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego dla ciągu \(b_k\) jest:
\(b_k = A(-1)^k + B(-2)^k - 2\)

Z warunków początkowych otrzymujemy układ równań:
\(\begin{cases} b_0 = a_0 - 2 = -1 = A + B - 2 \ b_1 = a_1 - 2 = 0 = -A - 2B - 2\end{cases}\)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy \(A = -1\) i \(B = 0\), zatem:
\(b_k = (-1)^k - 2\)

Przechodząc z powrotem na ciąg \(a_k\) otrzymujemy:
\(a_k = b_k + 2 = (-1)^k\)

Zatem jawną postacią ciągu \(a_n\) jest:
\(a_n = (-1)^n\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne

Post autor: kerajs »

uziom pisze: 05 kwie 2023, 11:42 Zatem jawną postacią ciągu \(a_n\) jest:
\(a_n = (-1)^n\)
To błędna odpowiedź gdyż \(a_1=-1 \neq 2\)

Moim zdaniem \(a_n=-(-2)^n+(-1)^n+1\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1428
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne

Post autor: janusz55 »

\( a_{k+2} + 3a_{k+1}+2a_{k} = 6 \)

\( a_{0}= 1, \ \ a_{1}= 2.\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego \( a^{J}:\)

\( a_{k+2}+3a_{k+1}+2a_{k} = 0 \)

Równanie charakterystyczne:

\( r^2 +3r + 2 = (r+2)(r+1) = 0 \)

\( r_{1}= -2, \ \ r_{2} = -1. \)

\( a^{J} = c_{1} (-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k}. \)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego \( a_{k}^{S} \) znajdziemy metodą operatora \( E, \ \ (D): \)

\( f(E) a_{k} = R_{k},\)

\( a_{k} = \frac{R_{k}}{f(E)}.\)

Równanie w postaci operatorowej:

\( (E+1)(E+2)a_{k} = 6 \)

Stąd

\( a_{k} = \frac{6}{(E+1)(E+2)} \)

\( a_{k}^{S} = \frac{6}{(1+1)(1+2)} = \frac{6}{6} = 1.\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\( a^{N}_{k} = a^{J}_{k} + a^{S}_{k} = c_{1}(-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k} +1.\)

Sprawdzenie

\( c_{1}(-2)^{k+2}+ c_{2}(-1)^{k+2} + 1 +3c_{1}(-2)^{k+1}+3c_{2}(-1)^{k+1} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k} + 2c_{2}(-1)^{k} + 2 = 6, \)

\( 4c_{1}(-2)^{k} + c_{2}(-1)^{k} +1 -6c_{1}(-2)^{k} -3c_{2}(-1)^{k} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k}+2c_{2}(-1)^{k}+2 = 6,\)

\( L = P. \)

Wartości stałych \( c_{1}, \ \ c_{2} \) obliczamy z warunków początkowych:

\( \begin{cases} 1 = c_{1}(-2)^{0} + c_{2}(-1)^{0} + 1 \\ 2 = c_{1}(-2)^{1} +c_{2}(-1)^{1} + 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} c_{1}+ c_{2} = 0 \\ -2c_{1} - c_{2} = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} c_{1} = -1, \\ c_{2} = 1. \end{cases} \)

\( a_{k} = -(-2)^{k} +(-1)^{k}+ 1 \)
ODPOWIEDZ