Rozważamy następujący ciąg liczbowy
\(a_0 = 1, a_1 = 2\)
\(a_{k+2} = -3a_{k+1} - 2a_k + 6 \text{ dla } k \in \nn \)
Wyznaczyć jawną postać \(a_n\).
Czy mógłby ktoś mi pomóc i rozpisać krok po kroku schemat jak rozwiązywać takie równania niejednorodne? Nigdzie nie mogę znaleźć, pokazują się tylko równania jednorodne, a mam jutro z tego poprawkę...
Równanie rekurencyjne niejednorodne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 22
- Rejestracja: 05 kwie 2023, 09:01
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne
Rozwiążmy to zadanie metodą anihilatorów.
Niech \(A(x)\) będzie operatorem różnicowym związanym z ciągiem \(a_n\), tzn.
\(A(x)a_n = a_{n+1}\).
Zauważmy, że warunki początkowe ciągu można zapisać jako:
\(a_0=1\implies A(0)a_0=1\)
\(a_1=2\implies A(0)a_1=2\)
Zatem operator różnicowy to:
\(A(x) = 1 + 2x\)
Podstawiając do rekurencyjnego wzoru na \(a_{k+2}\) otrzymujemy:
\(A(x)a_{k+2} = -3A(x)a_{k+1} - 2A(x)a_k + 6A(x)\)
\((x^2 + 3x + 2)a_{k+2} = 6(x+1)\)
Rozwiążmy teraz równanie rekurencyjne.
Postawmy \(b_k=a_k-2\). Wówczas równanie rekurencyjne dla \(a_k\) sprowadza się do:
\(a_{k+2} = -3a_{k+1} - 2a_k + 6 \iff b_{k+2}+2 = -3b_{k+1} - 2b_k\)
\(b_{k+2} = -3b_{k+1} - 2b_k - 2\)
Charakterystyczne równanie dla ciągu \(b_k\) to:
\(r^2 = -3r - 2 \iff r_1=-1, r_2=-2\)
Zatem ogólnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego dla ciągu \(b_k\) jest:
\(b_k = A(-1)^k + B(-2)^k - 2\)
Z warunków początkowych otrzymujemy układ równań:
\(\begin{cases} b_0 = a_0 - 2 = -1 = A + B - 2 \ b_1 = a_1 - 2 = 0 = -A - 2B - 2\end{cases}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy \(A = -1\) i \(B = 0\), zatem:
\(b_k = (-1)^k - 2\)
Przechodząc z powrotem na ciąg \(a_k\) otrzymujemy:
\(a_k = b_k + 2 = (-1)^k\)
Zatem jawną postacią ciągu \(a_n\) jest:
\(a_n = (-1)^n\)
Niech \(A(x)\) będzie operatorem różnicowym związanym z ciągiem \(a_n\), tzn.
\(A(x)a_n = a_{n+1}\).
Zauważmy, że warunki początkowe ciągu można zapisać jako:
\(a_0=1\implies A(0)a_0=1\)
\(a_1=2\implies A(0)a_1=2\)
Zatem operator różnicowy to:
\(A(x) = 1 + 2x\)
Podstawiając do rekurencyjnego wzoru na \(a_{k+2}\) otrzymujemy:
\(A(x)a_{k+2} = -3A(x)a_{k+1} - 2A(x)a_k + 6A(x)\)
\((x^2 + 3x + 2)a_{k+2} = 6(x+1)\)
Rozwiążmy teraz równanie rekurencyjne.
Postawmy \(b_k=a_k-2\). Wówczas równanie rekurencyjne dla \(a_k\) sprowadza się do:
\(a_{k+2} = -3a_{k+1} - 2a_k + 6 \iff b_{k+2}+2 = -3b_{k+1} - 2b_k\)
\(b_{k+2} = -3b_{k+1} - 2b_k - 2\)
Charakterystyczne równanie dla ciągu \(b_k\) to:
\(r^2 = -3r - 2 \iff r_1=-1, r_2=-2\)
Zatem ogólnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego dla ciągu \(b_k\) jest:
\(b_k = A(-1)^k + B(-2)^k - 2\)
Z warunków początkowych otrzymujemy układ równań:
\(\begin{cases} b_0 = a_0 - 2 = -1 = A + B - 2 \ b_1 = a_1 - 2 = 0 = -A - 2B - 2\end{cases}\)
Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy \(A = -1\) i \(B = 0\), zatem:
\(b_k = (-1)^k - 2\)
Przechodząc z powrotem na ciąg \(a_k\) otrzymujemy:
\(a_k = b_k + 2 = (-1)^k\)
Zatem jawną postacią ciągu \(a_n\) jest:
\(a_n = (-1)^n\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne
To błędna odpowiedź gdyż \(a_1=-1 \neq 2\)
Moim zdaniem \(a_n=-(-2)^n+(-1)^n+1\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1428
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: Równanie rekurencyjne niejednorodne
\( a_{k+2} + 3a_{k+1}+2a_{k} = 6 \)
\( a_{0}= 1, \ \ a_{1}= 2.\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego \( a^{J}:\)
\( a_{k+2}+3a_{k+1}+2a_{k} = 0 \)
Równanie charakterystyczne:
\( r^2 +3r + 2 = (r+2)(r+1) = 0 \)
\( r_{1}= -2, \ \ r_{2} = -1. \)
\( a^{J} = c_{1} (-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k}. \)
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego \( a_{k}^{S} \) znajdziemy metodą operatora \( E, \ \ (D): \)
\( f(E) a_{k} = R_{k},\)
\( a_{k} = \frac{R_{k}}{f(E)}.\)
Równanie w postaci operatorowej:
\( (E+1)(E+2)a_{k} = 6 \)
Stąd
\( a_{k} = \frac{6}{(E+1)(E+2)} \)
\( a_{k}^{S} = \frac{6}{(1+1)(1+2)} = \frac{6}{6} = 1.\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
\( a^{N}_{k} = a^{J}_{k} + a^{S}_{k} = c_{1}(-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k} +1.\)
Sprawdzenie
\( c_{1}(-2)^{k+2}+ c_{2}(-1)^{k+2} + 1 +3c_{1}(-2)^{k+1}+3c_{2}(-1)^{k+1} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k} + 2c_{2}(-1)^{k} + 2 = 6, \)
\( 4c_{1}(-2)^{k} + c_{2}(-1)^{k} +1 -6c_{1}(-2)^{k} -3c_{2}(-1)^{k} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k}+2c_{2}(-1)^{k}+2 = 6,\)
\( L = P. \)
Wartości stałych \( c_{1}, \ \ c_{2} \) obliczamy z warunków początkowych:
\( \begin{cases} 1 = c_{1}(-2)^{0} + c_{2}(-1)^{0} + 1 \\ 2 = c_{1}(-2)^{1} +c_{2}(-1)^{1} + 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} c_{1}+ c_{2} = 0 \\ -2c_{1} - c_{2} = 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} c_{1} = -1, \\ c_{2} = 1. \end{cases} \)
\( a_{k} = -(-2)^{k} +(-1)^{k}+ 1 \)
\( a_{0}= 1, \ \ a_{1}= 2.\)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego \( a^{J}:\)
\( a_{k+2}+3a_{k+1}+2a_{k} = 0 \)
Równanie charakterystyczne:
\( r^2 +3r + 2 = (r+2)(r+1) = 0 \)
\( r_{1}= -2, \ \ r_{2} = -1. \)
\( a^{J} = c_{1} (-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k}. \)
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego \( a_{k}^{S} \) znajdziemy metodą operatora \( E, \ \ (D): \)
\( f(E) a_{k} = R_{k},\)
\( a_{k} = \frac{R_{k}}{f(E)}.\)
Równanie w postaci operatorowej:
\( (E+1)(E+2)a_{k} = 6 \)
Stąd
\( a_{k} = \frac{6}{(E+1)(E+2)} \)
\( a_{k}^{S} = \frac{6}{(1+1)(1+2)} = \frac{6}{6} = 1.\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
\( a^{N}_{k} = a^{J}_{k} + a^{S}_{k} = c_{1}(-2)^{k} + c_{1}(-1)^{k} +1.\)
Sprawdzenie
\( c_{1}(-2)^{k+2}+ c_{2}(-1)^{k+2} + 1 +3c_{1}(-2)^{k+1}+3c_{2}(-1)^{k+1} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k} + 2c_{2}(-1)^{k} + 2 = 6, \)
\( 4c_{1}(-2)^{k} + c_{2}(-1)^{k} +1 -6c_{1}(-2)^{k} -3c_{2}(-1)^{k} + 3 + 2c_{1}(-2)^{k}+2c_{2}(-1)^{k}+2 = 6,\)
\( L = P. \)
Wartości stałych \( c_{1}, \ \ c_{2} \) obliczamy z warunków początkowych:
\( \begin{cases} 1 = c_{1}(-2)^{0} + c_{2}(-1)^{0} + 1 \\ 2 = c_{1}(-2)^{1} +c_{2}(-1)^{1} + 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} c_{1}+ c_{2} = 0 \\ -2c_{1} - c_{2} = 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} c_{1} = -1, \\ c_{2} = 1. \end{cases} \)
\( a_{k} = -(-2)^{k} +(-1)^{k}+ 1 \)