Indukcja matematyczna a nierówność

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 06 gru 2021, 00:01

Dzień Dobry

Mam problem z tą indukcją matematyczną:
\(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\)

Bo jak robiłem indukcję matematyczne gdzie po jednej ze stron nierówności była tylko jedna liczba to było proste np
\(2n+1<2^n\)
Mamy tezę:
\(2(n+1)+1<2^{n+1}\)
ale jak pomnożymy z założenia \(2n+1<2^n\) przez 2 dwie strony to uzyskujemy \(4n+2<2^{n+1}\)
I resztę dowodu robimy na nierówności \(4n+2>2(n+1)+1\)

ale w tej nierówności \(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\) nie widzę przez co mam pomnożyć tezę aby otrzymać po któreś ze stron to samo co w dowodzie tej tezy \((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}\ge (k+1)^2+k+1-2\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: Jerry » 06 gru 2021, 01:21

Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)


Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5114
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 2045 razy
Płeć:

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: panb » 06 gru 2021, 01:36

Ja też grubo szacowałem, a idzie to tak:
  • \((k+1)^22^{k+1}=2 \left[ (k+1)^22^k\right]=(k+1)^22^k+ (k+1)^22^k\ge k^22^k+2(k+1)\ge k^2+k-2+2k+2=\\ =(k^2+2k+1)+k+1-2=(k+1)^2+(k+1)-2\)
a to jest teza.

smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 15 gru 2021, 00:58

Jerry pisze:
06 gru 2021, 01:21
Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)


Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...
To już wydaje się się bardziej logiczne aby przenieś po prostu z tezy wszystko na jedną stronę :wink:

A mam jeszcze jedno pytanie jak zrobić? \(4^n+3 \ge n^2\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: Jerry » 15 gru 2021, 01:50

smp pisze:
15 gru 2021, 00:58
A mam jeszcze jedno pytanie jak zrobić? \(4^n+3 \ge n^2\)
I po "mojemu":
\(L_T=4^{n+1}-(n+1)^2+3=2\cdot4^n+2(4^n-n^2+3)+(n-1)^2-5\ge 2\cdot4+0+0-5=3\ge0=P_T\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 15 gru 2021, 15:19

panb pisze:
15 gru 2021, 01:13
\(4^{n+1}+3=4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3=(n^2+2n+1)+3n^2-2n+2=(n+1)^2+3 \left(n- \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{5}{3} \ge (n+1)^2\)
A skąd wziąłeś te +3?

smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 15 gru 2021, 15:21

chodzi mi o ten fragment \(4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3\) po prawej stronie dodanie tego +3

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5114
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 2045 razy
Płeć:

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: panb » 15 gru 2021, 20:54

smp pisze:
15 gru 2021, 15:21
chodzi mi o ten fragment \(4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3\) po prawej stronie dodanie tego +3
To jest pomyłka. Tutaj jest poprawne oszacowanie (znowu bardzo grube: \(2\cdot4^n>1 \) i \(4^n>2n\) )
\(4^{n+1}+3=4\cdot4^n+3=3\cdot4^n+(4^n+3)\ge 3\cdot4^n+n^2=2\cdot4^n+4^n+n^2\ge 1+2n+n^2=(n+1)^2\)

Usunę tamten post, żeby nie wprowadzać w błąd)

smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 15 gru 2021, 21:30

panb pisze:
15 gru 2021, 20:54

\(4^{n+1}+3=4\cdot4^n+3=3\cdot4^n+(4^n+3)\ge 3\cdot4^n+n^2=2\cdot4^n+4^n+n^2\ge 1+2n+n^2=(n+1)^2\)

A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5114
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 2045 razy
Płeć:

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: panb » 15 gru 2021, 21:44

smp pisze:
15 gru 2021, 21:30
A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)
Nie, bo wykorzystując założenie, dostajemy \(4\cdot(4^n+3)-12\ge 4n^2-12\), a to już nie zawsze jest większe od \((n+1)^2\) (dopiero od \(n\ge3\))

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: Jerry » 15 gru 2021, 23:01

smp pisze:
15 gru 2021, 21:30
A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)
Przeczytałeś wszystkie moje posty w tym wątku :?:

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

smp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 05 gru 2021, 23:53
Podziękowania: 2 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: smp » 15 gru 2021, 23:13

Jerry pisze:
15 gru 2021, 23:01
smp pisze:
15 gru 2021, 21:30
A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)
Przeczytałeś wszystkie moje posty w tym wątku :?:

Pozdrawiam
Tak ale to dalej jest dla mnie trochę nie zrozumiałe (jakieś te trudniejsze są indukcję matematyczne niektóre), ALE mam pytanie czy wtedy \(4^n+3>n^2\) zapisać jako \( \iff 4^n>n^2 - 3\)? Bo szukałem odpowiedzi w internecie i ktoś mi doradził po prostu aby przenieść tą trójkę na prawą stronę i wtedy tą nierówność \(4^n>n^2 - 3\) potrafię bez problemu rozwiązać. Tylko nie jestem pewien czy tak można robić, bo jakby to była zwykła nierówność to okej można sobie przenieść wyrażenie na drugą stronę, ale czy taką swobodę mamy także w indukcji matematycznej?

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: Indukcja matematyczna a nierówność

Post autor: Jerry » 15 gru 2021, 23:20

smp pisze:
15 gru 2021, 23:13
...wtedy tą nierówność \(4^n>n^2 - 3\) potrafię bez problemu rozwiązać. Tylko nie jestem pewien czy tak można robić...
Przecież te nierówności są równoważne :idea:

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .