Rozwiąż układ kongruencji

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ilmarinen
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 10 maja 2020, 09:35
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: ilmarinen » 06 wrz 2021, 12:03

Proszę o rozwiązanie poniższego układu kongruencji, krok po kroku. Dzięki z góry!
\(\left\{\begin{matrix}
3x\equiv_7 4\\
5x\equiv_{11}9
\end{matrix}\right.\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4922
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 16 razy
Otrzymane podziękowania: 1945 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: panb » 06 wrz 2021, 17:02

ilmarinen pisze:
06 wrz 2021, 12:03
Proszę o rozwiązanie poniższego układu kongruencji, krok po kroku. Dzięki z góry!
\(\left\{\begin{matrix}
3x\equiv_7 4\\
5x\equiv_{11}9
\end{matrix}\right.\)
\(3x\equiv_7 4 \iff 3x=7i+4 ;\quad i=3p+2 \So 3x=21p+18 \So x=7p+6,\text{ gdzie } p, i\in\zz\\
5x\equiv_{11} 9 \iff 5x=11j+9; \quad j=5q+1 \So 5x=55q+20 \So x=11q+4,\text{ gdzie } j,q\in\zz\)

Czyli szukana liczba x jest wspólnym elementem ciągów liczb całkowitych danych wzorami: \((7p+6)_{p\in\zz}\) oraz \((11q+4)_{q\in\zz}\)
Zatem szukamy całkowitych p i q takich, że
\(7p+6=11q+4 \iff 7p+2=11q ; \quad p=11n+6 \So 7(11n+6)+2=11q \iff \\ \iff77n+44=11q \So q=7n+4\)

Wobec tego:
\[x=11q+4=11(7n+4)+4=77n+48, \text{ gdzie } n\in \zz\]

Odpowiedź: \(x=77n+48,\quad n\in\zz\)

Ostatnio zmieniony 06 wrz 2021, 22:49 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.

ilmarinen
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 10 maja 2020, 09:35
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: ilmarinen » 12 wrz 2021, 13:45

WItam, mam pytanie: Skąd wzięła się linijka:

\(i=3p+2 \Rightarrow3x=21p+18\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4922
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 16 razy
Otrzymane podziękowania: 1945 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: panb » 12 wrz 2021, 14:51

\(3x=7i+4\)
Jeśli \(i=3p+2\), to po podstawieniu tak właśnie wyjdzie.

ilmarinen
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 10 maja 2020, 09:35
Podziękowania: 7 razy
Płeć:

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: ilmarinen » 14 wrz 2021, 05:46

A skąd się wzięło: \( i=3p+2\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1373
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 643 razy

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: Jerry » 14 wrz 2021, 09:23

panb pisze:
06 wrz 2021, 17:02
\(3x\equiv_7 4 \iff 3x=7i+4 ;\quad i=3p+2 \ \ldots\)
Wobec całkowitości \(x,\ i\) mamy
\(7i+4=(6i+3)+(i+1)\\ 3|(7i+4)\iff3|(i+1)\iff i=3p+2\)
dla \(p\in\zz\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1373
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 643 razy

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: Jerry » 14 wrz 2021, 10:19

Może przyjaźniejsze dla Ciebie będzie:
\( \begin{cases} 3x\equiv_7 4\\ 5x\equiv_{11}9 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x=7m+4\\5x=11n+9\end{cases} \So 5(7m+4)=3(11n+9)\)
czyli pozostaje rozwiązać w liczbach całkowitych równanie
\(35m=33n+7\)
\( \begin{matrix} n&\ldots & 21 &56 &\ldots& 35k+21\\
\hline
m&\ldots & 20 &53 & \ldots &33k+20\end{matrix} \wedge k\in\zz\)

zatem
\(3x=7(33k+20)+4\So x=\ldots\)
jak panb napisał!

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .