Poprawność: Wyznacz rozwiązania ogólne rekurencji + pytanie

[damian28102000]

Cześć!
Zwracam się z prośbą o zweryfikowanie zadania:
\(a_n=3a_{n-1}+5n^2\)
\(\lambda = 3\)
\(a_n^j=\alpha \cdot 3^n\)
\(a_n^s=An^2+Bn+C\)
\(An^2+Bn+C=3(A(n-1)^2+B(n-1)+C)+5n^2\)

\(n^2\) \(A=3A+5\)
\(n^1\) \(B=-6A+3B\)
\(n^0\) \(C=3(A-B+C)\)

\(A=\frac{-5}{2}\)
\(B=\frac{-15}{2}\)
\(C=\frac{-15}{2}\)
\(a_n=\alpha \cdot 3^n+\frac{-5}{2}n^2-\frac{-15}{2}n-\frac{-15}{2}\)

Pytanie:
\(b_n=3b_{n-1}-2b_{n-2}+2^n+n+1\)
\(a_n^j=\alpha(\frac{3+\sqrt{17}}{2})^n+\beta(\frac{3-\sqrt{17}}{2})^n\)
\(a_n^s=\)??? Jak będzie wyglądał tutaj wzór szczególny?

[panb]

Cześć!
Zwracam się z prośbą o zweryfikowanie zadania:
\(a_n=3a_{n-1}+5n^2\)
\(\lambda = 3\)
\(a_n^j=\alpha \cdot 3^n\)
\(a_n^s=An^2+Bn+C\)
\(An^2+Bn+C=3(A(n-1)^2+B(n-1)+C)+5n^2\)

\(n^2\) \(A=3A+5\)
\(n^1\) \(B=-6A+3B\)
\(n^0\) \(C=3(A-B+C)\)

\(A=\frac{-5}{2}\)
\(B=\frac{-15}{2}\)
\(C=\frac{-15}{2}\)
\(a_n=\alpha \cdot 3^n+\frac{-5}{2}n^2-\frac{-15}{2}n-\frac{-15}{2}\)

Tu wszystko jest OK.

[panb]

Pytanie:
\(b_n=3b_{n-1}-2b_{n-2}+2^n+n+1\)
\(a_n^j=\alpha(\frac{3+\sqrt{17}}{2})^n+\beta(\frac{3-\sqrt{17}}{2})^n\)
\(a_n^s=\)??? Jak będzie wyglądał tutaj wzór szczególny?

Tutaj jest niedobrze.
Wielomian charakterystyczny: \(x^2-3x+2=0\) ma dwa pierwiastki, ale nie takie paskudne. \(x_1=1,\,\,\, x_2=2\).

[panb]

Pamiętaj, że tutaj
\[b_n^j=a+b\cdot2^n \,\, \text{ natomiast } \,\,a_n^{sz}=(A+Bn)n+Cn2^n\]

[damian28102000]

Pamiętaj, że tutaj
\[b_n^j=a+b\cdot2^n \,\, \text{ natomiast } \,\,a_n^{sz}=(A+Bn)n+Cn2^n\]

Szczególny nie może mieć takiej postaci?
\((An+B)+Cn2^n\)

[panb]

Nie, bo jednym z pierwiastków wielomianu charakterystycznego jest 1 - Patrz tutaj, uwaga 1

[damian28102000]

Nie, bo jednym z pierwiastków wielomianu charakterystycznego jest 1 - Patrz tutaj, uwaga 1

\((An+B)n+Cn2^n\)
Tak, też tego nie mogę zapisać?

[panb]

Możesz, kolejność literek jest nieistotna (jeśli o to ci chodzi).