Witam, Mam takie oto zadanie z prawdopodobieństwa dyskretnego. Nie wiem jak to ruszyć i też nie do końca rozumiem logikę samej treści zadania. Prosił bym o pomoc.
W grze rzuca się k kostkami sześciennymi do gry, za wynik uzyskując tyle złotówek, ile oczek nie wypadło ani razu. Za udział w grze trzeba opłacić wstęp. Przy jakiej jego wysokości ta gra jest sprawiedliwa?
Pozdrawiam.
Prawdopodobieństwo dyskretne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Prawdopodobieństwo dyskretne
Rozważmy rzut k- kostkami.
Dla \( n=1, 2, 3, ..., 6\) definiujemy zmienne losowe \(X_n\) w następujący sposób;
\[X_n= \begin{cases} 1 &\text{ jeżeli na żadnej kostce nie wypadło n oczek}\\ 0& \text{jeśli na co najmniej jednej kostce wypadło n oczek}\end{cases} \]
Wtedy wygraną opisuje zmienna losowa \(\displaystyle X= \sum_{n=1}^{6}n\cdot X_n \), a oczekiwana wygrana \(\displaystyle EX= \sum_{n=1}^{6}nEX_n \)
Aby obliczyć \(EX_n\) znajdujemy rozkład
\( \forall n\in\{1,2,3,4,5,6 \}: P(X_n=1)= \frac{5^k}{6^k}\) (na żadnej z k kostek nie wypadło n, to tak jakbyśmy k razy rzucali kostką bez ścianki z n oczkami, czyli kostką z pięcioma ściankami), \(P(X_n=0)=1- \frac{5^k}{6^k} \)
Wobec tego \(\forall n\in\{1,2,3,4,5,6 \}: EX_n=1\cdot \frac{5^k}{6^k}+0\cdot(1- \frac{5^k}{6^k})=\frac{5^k}{6^k}\)
Wielkość wygranej to \(\displaystyle EX= \sum_{n=1}^{6}n\cdot \frac{5^k}{6^k}=\frac{5^k}{6^k}\cdot(1+2+3+4+5+6)=21\cdot \frac{5^k}{6^k}\)
Przy rzucie 2 kostkami opłata za wstęp powinna wynosić 14,58zł, a przy rzucie sześcioma około 7 zł.
Dla \( n=1, 2, 3, ..., 6\) definiujemy zmienne losowe \(X_n\) w następujący sposób;
\[X_n= \begin{cases} 1 &\text{ jeżeli na żadnej kostce nie wypadło n oczek}\\ 0& \text{jeśli na co najmniej jednej kostce wypadło n oczek}\end{cases} \]
Wtedy wygraną opisuje zmienna losowa \(\displaystyle X= \sum_{n=1}^{6}n\cdot X_n \), a oczekiwana wygrana \(\displaystyle EX= \sum_{n=1}^{6}nEX_n \)
Aby obliczyć \(EX_n\) znajdujemy rozkład
\( \forall n\in\{1,2,3,4,5,6 \}: P(X_n=1)= \frac{5^k}{6^k}\) (na żadnej z k kostek nie wypadło n, to tak jakbyśmy k razy rzucali kostką bez ścianki z n oczkami, czyli kostką z pięcioma ściankami), \(P(X_n=0)=1- \frac{5^k}{6^k} \)
Wobec tego \(\forall n\in\{1,2,3,4,5,6 \}: EX_n=1\cdot \frac{5^k}{6^k}+0\cdot(1- \frac{5^k}{6^k})=\frac{5^k}{6^k}\)
Wielkość wygranej to \(\displaystyle EX= \sum_{n=1}^{6}n\cdot \frac{5^k}{6^k}=\frac{5^k}{6^k}\cdot(1+2+3+4+5+6)=21\cdot \frac{5^k}{6^k}\)
Odpowiedź: Żeby tak opisana gra była sprawiedliwa opłata za wstęp powinna być równa \(\,\,21\cdot \frac{5^k}{6^k}\)
Uwaga.Przy rzucie 2 kostkami opłata za wstęp powinna wynosić 14,58zł, a przy rzucie sześcioma około 7 zł.