Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 91
Rejestracja: 11 lis 2020, 20:11
Podziękowania: 103 razy
Płeć:

Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: damian28102000 » 07 kwie 2021, 05:03

Cześć!
Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n \ge 17\)
\(2^n>n^4\)

Bo coś za łatwo jeśli to prawidłowe rozwiązanie:
\(2^n*2>n^4+4n^3+6n^2+4n+1\)
i podstawić za n 17 i obliczyć, czy się zgadza

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2326
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 21 razy
Otrzymane podziękowania: 1024 razy
Płeć:

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: kerajs » 07 kwie 2021, 08:19

To nie wystarczy.
W dowodzie indukcyjnym ma być:
\(L=2^{n+1}=2 \cdot 2^n>2n^4=......>(n+1)^4=P\)
pozostaje wymyślić jak udowodnić ostatnie przejście (wykropkowany fragment).

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4650
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 1806 razy
Płeć:

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: panb » 07 kwie 2021, 12:17

Trzeba pokazać, że \(2n^4>(n+1)^4\) (zawsze albo przynajmniej dla \(n\ge17\))

Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, więc
\(2n^4>(n+1)^4 \iff n \sqrt[4]{2}>n+1 \iff \\ \qquad\iff n \left(\sqrt[4]{2}-1 \right)>1 \stackrel{\sqrt[4]{2}>1}{\iff} n> \frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} \stackrel{\text{po usunięciu niewym. z mian.}}{=} \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)
\(5<\left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)<6\), więc dla \(n\geq6\) prawdziwy jest ciąg równoważnych nierówności:
\(n> \frac{1}{ \sqrt[4]{2}-1}\\
n \left( \sqrt[4]{2}-1 \right)>1\\
n \sqrt[4]{2}-n>1\\
n \sqrt[4]{2}>n+1\\
2n^4>(n+1)^4 \)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1110
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 533 razy

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: Jerry » 07 kwie 2021, 12:22

damian28102000 pisze:
07 kwie 2021, 05:03
Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n \ge 17\)
\(2^n>n^4\)
Inaczej:
\(2^n-n^4>0\)
czyli, w kroku indukcyjnym mamy wykazać
\(2^{n+1}-(n+1)^4>0\)

\(L=2^{n+1}-(n+1)^4=2(2^n-n^4)+n^4-4n^3-6n^2-4n-1\nad{\text{z zał}}{>}n^4-4n^3-6n^2-4n-1=\\ \qquad
=(n^4-6n^3)+(2n^3-12n^2)+(6n^2-36n)+(32n-192)+191=\\ \qquad=(n-6)(n^3+2n^2+6n+32)+191\nad{n\ge6}{>}191>0=P\)

Czyli krok indukcyjny działa już od \(n=6\), ale próg robi swoje...

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2326
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 21 razy
Otrzymane podziękowania: 1024 razy
Płeć:

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: kerajs » 07 kwie 2021, 14:28

Niestety krok indukcyjny nie działa już od \(n=6\) , gdyż wtedy (a ściślej to dla \(n \in \left\{ 2,3,4,...,16\right\}\) ) nieprawdziwe jest wcześniejsze przejście, czyli:
\(2 \cdot 2^n>2n^4\)
Dlatego bezpieczniej jest nie zmieniać podanego w zadaniu założenia.

Najbardziej (względem powyższych) pracochłonną jest wersja (o ile się nie pomyliłem w rachunkach):
\(2n^4=(n+1)^4+(n-17)^4+64(n-17)^3+1524(n-17)^2+15976(n-17)+62066\)
co dla \(n>16\)
daje oczekiwane przejście:
\(2n^4=(n+1)^4+(n-17)^4+64(n-17)^3+1524(n-17)^2+15976(n-17)+62066>(n+1)^4\)

Awatar użytkownika
damian28102000
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 91
Rejestracja: 11 lis 2020, 20:11
Podziękowania: 103 razy
Płeć:

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: damian28102000 » 08 kwie 2021, 03:17

panb pisze:
07 kwie 2021, 12:17
Trzeba pokazać, że \(2n^4>(n+1)^4\) (zawsze albo przynajmniej dla \(n\ge17\))

Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, więc
\(2n^4>(n+1)^4 \iff n \sqrt[4]{2}>n+1 \iff \\ \qquad\iff n \left(\sqrt[4]{2}-1 \right)>1 \stackrel{\sqrt[4]{2}>1}{\iff} n> \frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} \stackrel{\text{po usunięciu niewym. z mian.}}{=} \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)
\(5<\left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)<6\), więc dla \(n\geq6\) prawdziwy jest ciąg równoważnych nierówności:
\(n> \frac{1}{ \sqrt[4]{2}-1}\\
n \left( \sqrt[4]{2}-1 \right)>1\\
n \sqrt[4]{2}-n>1\\
n \sqrt[4]{2}>n+1\\
2n^4>(n+1)^4 \)
Możesz jeszcze mi wyjaśnić jak po usunięciu z mianownika dostajesz te \(\left(\sqrt2+1 \right)\), bo mi tylko wychodzi \(\left( \sqrt[4]{2}+1\right)\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1110
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 533 razy

Re: Udowodnić, że dla każdego naturalnego

Post autor: Jerry » 08 kwie 2021, 09:45

damian28102000 pisze:
08 kwie 2021, 03:17
Możesz jeszcze mi wyjaśnić jak po usunięciu z mianownika dostajesz te \(\left(\sqrt2+1 \right)\), bo mi tylko wychodzi \(\left( \sqrt[4]{2}+1\right)\)
Ponieważ
\(\left(\sqrt[4]{2}-1\right)\cdot \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)=\left(\sqrt2-1 \right)\left(\sqrt2+1 \right)=2-1=1 \)
to
\(\frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} = \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .