udowodnij używając rachunku zbiorów

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

Mógłby mnie ktoś naprowadzić na udowodnienie tego?
\(A = (A\bez B) \cup (A\cap B)\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Jerry »

Najprościej - narysuj schemat Venne'a, mniej prosto: rozpisz z definicji \(x\in P\), wykorzystaj tautologie i jeśli zakończysz \(x\in L\), to dowód zakończysz

Pozdrawiam
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

Właśnie ze schematu Vienne'a wiem, że się da, ale chciałbym poćwiczyć inny sposób na udowadnianie tego :)
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

a można gdzieś na Internecie poczytać o tej mniej prostej metodzie? to jest rachunek zdań?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Amtematiksonn pisze: 25 sty 2021, 12:19 Mógłby mnie ktoś naprowadzić na udowodnienie tego?
\(A = (A\bez B) \cup (A\cap B)\)
\(x\in (A\bez B) \cup (A \cap B) \iff (x\in A \wedge x\notin B) \vee (x\in A \wedge x \in B) \stackrel{\text{ z praw de Morgana}}{\iff}\\ \iff x\in A \vee (x\in A \wedge x\in B) \vee (x\in A \wedge x \notin B) \vee (x\in B \wedge x\notin B) \iff x\in A \wedge (x \in A \vee x \in B \vee x\notin B) \iff \\ \iff x\in A \wedge x \in A \iff x\in A \)
Czyli \[x\in (A\bez B) \cup (A \cap B) \iff x\in A \iff A = (A\bez B) \cup (A\cap B)\]
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

średnio rozumiem to z prawem de Morgana bo nie widzę tam zaprzeczenia
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Amtematiksonn pisze: 25 sty 2021, 13:20 średnio rozumiem to z prawem de Morgana bo nie widzę tam zaprzeczenia
To nie ma dla cb ratunku.
Nie widzisz \(A\bez B\) ?

A taki zapis ogarniesz?
\((A\bez B) \cup (A \cap B)=(A \cap B') \cup (A \cap B)=A \cap (B \cup B')=A \)
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

a gdzie mogę się tego douczyć?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Tu nie ma czego się uczyć - to tak jak z opuszczaniem nawiasów (x+y)(a+b)

A tutaj masz prawa rachunku na zbiorach.
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

\((A\bez B) \cup (A \cap B)=(A \cap B') \cup (A \cap B)\)
Jeśli chodzi o to przejście to widać, że to jest równe, ale jak wpaść na pomysł, że \((A\bez B)\) = \((A \cap B')\) ?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Amtematiksonn pisze: 25 sty 2021, 13:38 \((A\bez B) \cup (A \cap B)=(A \cap B') \cup (A \cap B)\)
Jeśli chodzi o to przejście to widać, że to jest równe, ale jak wpaść na pomysł, że \((A\bez B)\) = \((A \cap B')\) ?
No tu niestety trzeba do definicji się odwołać.
  1. \(x\in B' \iff x\notin B\)
  2. \(x\in (A\bez B) \iff (x\in A \wedge x\notin B) \iff x\in A \wedge x\in B' \iff x\in (A \cap B')\)
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

No i teraz jest to trochę bardziej jasne, gdzie można znaleźć te definicje?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Trochę!!!???
dałem ci link, tam powyżej
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 17:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: Amtematiksonn »

Dzięki :D trzeba się zacząć uczyć do sesji :)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: udowodnij używając rachunku zbiorów

Post autor: panb »

Spoko, tu ci zawsze ktoś pomoże - tylko sformułuj porządnie problem.
Fajnie, że usiłujesz to zrozumieć.
ODPOWIEDZ