Oblicz sumę za pomocą rachunku różnicowego.

[Myszor2323]

Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego przykładu.
\( \sum_{n=4}^{m} 2^n\cdot(n-3)\)

[panb]

Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego przykładu.
\( \sum_{n=4}^{m} 2^n\cdot(n-3)\)

Najpierw wzory:
\[ \sum_{n=4}^{m}x^n=x^4 \frac{x^{m-3}-1}{x-1}= \frac{x^{m+1}-x^4}{x-1} \\
\left[ \sum_{n=4}^{m}x^n \right]'= \frac{4x^3-3x^4-(m+1)x^m+mx^{m+1}}{(x-1)^2} = \sum_{n=4}^{m}(x^n)'= \sum_{n=4}^{m}nx^{n-1} \]
Więc dla x=2, mamy
\[ \sum_{n=4}^{m}2^n=2^{m+1}-16\,\, \text{ oraz }\,\, \sum_{n=4}^{m}n2^{n-1}=m2^m-2^m-16\]

Teraz zadanie:
\[ \sum_{n=4}^{m}2^n(n-3)= \sum_{n=4}^{m}n2^n -3 \sum_{n=4}^{m}2^n =2\sum_{n=4}^{m}n2^{n-1}-3\sum_{n=4}^{m}2^n \]

Podstaw i będzie po zadaniu.

Odpowiedź: \(\displaystyle \sum_{n=4}^{m}2^n(n-3)=m2^{m+1}-2^{m+3}+16=2^{m+1}(m-4)+16\)