Mocna zasada indukcji-nierówność

[indukcjetozlo]

Indukcyjnie udowodnić nierówność:
\(\forall_{n \in \nn , n \ge 1} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

[supergolonka]

Dziwiłem się dlaczego latex nie działał w tym poście - a w opcjach postach było zaznaczone 'Wyłącz BBCode'.

[kerajs]

Indukcyjnie udowodnić nierówność:
\(\forall_{n \in \nn , n \ge 1} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

To nie jest prawda. Co więcej można wykazać że:
\(\forall_{n \in \nn , n > 1} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}> \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Ps
\(\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}= \frac{ \frac{1+(2n-1)}{2} \cdot n }{2 \cdot \frac{1+n}{2} \cdot n} = \frac{n}{n+1} \)


PPS
A tutaj: https://pics.tinypic.pl/i/00996/zb4rurm8v9aq.jpg
masz kilka dziwacznych i błędnych przekształceń. Sugeruję kolejną próbę rozwiązania.

[radagast]

Indukcyjnie udowodnić nierówność:
\(\forall_{n \in \nn , n \ge 1} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

To ja podejrzewam, że miało być tak:
\(\forall_{n \in \nn , n \ge 1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot... \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdot .. \cdot2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) i wtedy dowód jest taki:
1) dla \(n=1\)
\(L= \frac{1}{2}\),\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\), no to istotnie : \(L \le P\)
2) założenie indukcyjne:
\( \exists _{n \in \nn , n \ge 1} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
teza :
\(\ \frac{1+3+5+...+(2n+1)}{2+4+6+...+(2n+2)}\le \frac{1}{\sqrt{n+2}}\)
dowód:
najpierw przekształćmy zał ind: \( \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \iff \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2}\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{2n+1}{2n+2}\)
wystarczy teraz pokazać , że \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{1}{\sqrt{n+2}} \)
czyli, że \( \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} \)
czyli, że \( \frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2} \le \frac{n+1}{n+2} \)
czyli, że \( (2n+1)^2 (n+2)\le (n+1) (2n+2)^2\)
czyli, że \( 4n^3+4n^2+4n+8n^2+8n+2\le 4n^3+8n^2+8n+4n^2+8n+4\)
czyli, że \( n \ge \frac{1}{2} \), a to jest prawda, zatem
\(L= \frac{1+3+5+...+(2n+1)}{2+4+6+...+(2n+2)}= \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2}
\le \frac{1}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} \le
\frac{1}{\sqrt{n+2}}=P\)