Indukcja: zauważmy że

[dostawcapizzy]

1ć Zauważmy, że
1 =0^3+1^3
2+3+4 =1^3+2^3
5+6+7+8+9 =2^3+3^3
10+11+12+13+14+15+16 = 3^3+4^3
...........................................
2ć Udowodnij indukcyjnie że każdą kwotę pieniędzy złożoną z n zł n>3 można wypłacić monetami 2 i 5 zł.
Dziękuję za wszelką pomoc.

[panb]

1ć Zauważmy, że
1 =0^3+1^3
2+3+4 =1^3+2^3
5+6+7+8+9 =2^3+3^3
10+11+12+13+14+15+16 = 3^3+4^3
...........................................

Uwaga 1: n-ta linijka ma długość (ilość elementów) równą \(2n+1, n=0, 1, 2, ...\)
Uwaga 2: n-ta linijka zaczyna się od liczby \(n^2+1, n=0, 1, 2, ...\)
Uwaga 3: suma elementów n-tej linijki jest równa \(n^3+(n+1)^3, n=0, 1, 2, ...\)

Wobec tego n-tą linijkę można zapisać tak: \[(n^2+1)+(n^2+2)+\ldots + (n^2+2n+1)=n^3+(n+1)^3\]
Tę równość bardzo łatwo jest udowodnić.
\((n^2+1)+(n^2+2)+\ldots + (n^2+2n+1)=(2n+1) \cdot n^2+ {\buildrel \underbrace{\textit{suma ciągu arytmetycznego}}\over {\left[1+2+\ldots +(2n+1) \right]}}=2n^3+n^2+ \frac{(1+2n+1)(2n+1)}{2} \)
Stąd po nietrudnych przekształceniach otrzymamy \(\ldots =n^3+(n+1)^3\)